线性代数笔记16——图和网络

　　图（Graph）是离散数学中的一种常见数据结构，由节点和边组成，若是边有方向，就是有向图。下图是一个有4个节点5条边的有向图：

　　这个图（Graph）能够表示电网、网络或建筑物通道的数学模型。

关联矩阵

　　能够经过一个矩阵来解析有向图，这个矩阵称为关联矩阵（Incidence Matrix）。4个节点5条边的图用一个5×4的矩阵表示，用正负表示边的方向，矩阵的一行至关于图的一条边，矩阵的一列对应图的一个节点：

 

　　以A的第一行为例，它对应图的第一条边e1，e1的方向是从n1指向n2，与n3和n4无关。若是将A中的-1所有改成1，就变成了无向图。

　　A的前三行对应了三边e1,e2,e3，它们构成了图中的一个回路。对于一个图来讲，回路的数量和位置相当重要。把回路单独拿出来看：

 

　　问题之一是：这三行相互独立吗？或者说它们是不是线性无关的？

　　彷佛很容易看出，第3行能够由第1行和第2行相加获得，这说明回路对应的行是线性相关的。从图上看，从n1到n3能够n1→n3，也能够n1→n2→n3，因此说n1→n3是“多余”的，它能够由“绕行”代替。

存储大型关联矩阵

　　若是用关联矩阵描述一个大型图，你会发现矩阵中的0很是多，这个矩阵是一个稀疏矩阵。用计算机存储这个矩阵时，应当考虑是否应该用邻接表代替二维数组，同时也可使用一维数组代替二维数组。

　　邻接表是一种经常使用的数据结构，它是一个存储了链表的一维数组。

　　仍是这个图，如今不考虑方向，用一维数组描述：

　　L[4]是有4个节点的数组（假设数组下标从1开始，和Matlab同样），初始元素都为0，这样构造数组：

　　n1与n2联通，将L[1]与L[2]赋予n2的序号，L = [2,2,0,0]；

　　n2与n3联通，将L[2]和与L[2]相连的全部节点都赋予n3的序号，L = [3,3,3,0]；

　　n3与n4联通，将L[3]和与L[4]相连的全部节点都赋予n4的序号，L = [4,4,4,4]。

　　对于回路没必要从新负值：

　　n1与n4联通，可是它们之间已经有回路了，L[1] == L[4]；

　　n1与n3联通，它们之间一样有回路，L[1] == L[3]。

　　最终，L = [4,4,4,4]，判断两点n_p与n_q是否联通，只须要判断if L[p] == L[q]便可。

关联矩阵的零空间

　　若是A的零空间是零向量，则意味着Ax = 0有惟一解，此时A应当是方阵，A的行最简阶梯矩阵是单位矩阵，A的各列线性无关。

　　A不是方阵，因此x没有惟一解。这很容易验证，Ax = 0中，x有4个份量，方程组中有5个方程，但只有4个未知数，因此方程有无数解。

 

　　只要x₁ = x₂ = x₃ = x₄，就知足Ax = 0。A的零空间是位于R⁴空间下的1维空间：

 

　　若是A是电网，x_n表示每一个节点的电势，则上面的N(A)意味着全部节点的电势相等，不存在电势差，所以不存在电流。若是把n4节点接地，就会产生电势差，此时至关于将x₄的电势设为0：

 

　　对于Ax来讲，x₄ = 0意味着A的最后一列不起做用（最后一列的各个份量与0的相乘老是0）。这样，A前三列就变成线性无关，实际上A的任意三列都是线性无关，A的秩是3。

 

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 做者：我是8位的

出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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