【线性代数】图与网络

       前面的关于线性代数的文章都是从数学的角度来解说的。本文将换个角度来解说问题。

导师时常告诉我，凡事都要想一想它的物理或实际意义，需要透过现象看本质，这样就能更加深入的理解，这样就可以看看线性代数有什么实际的用途。

       若是有例如如下电路网络：

图中有1，2，3，4号节点，y1，y2，y3，y4，y5五条边，箭头的指向标明可以电流流向。

咱们若是电流的出发点设为-1，到达点设为1。则咱们可以经过矩阵来表示上述网络：

矩阵零空间的物理意义

咱们首先考虑矩阵A的零空间。则有：

        从上面的式子可以看出Ax的结果是各个节点之间的差值，若是Xi为第i点的电势，那咱们就赋予了物理意义：Ax=0的意思是当节点电势取何值时，所有的节点之间的电势差为0。很是显然。当所有节点等电势时显然成立，即：

        咱们将图中各边的电流用b表示，则有等式Ax=b。当中A表示了电路节点之间的关系，x表明了各点的电势，b表明了各边的电流。

这样。咱们就将一个物理问题数学化了。

上面讨论中b=0，x中各个份量一样，即说明电势一样，网络中没有电流，这与咱们的物理常识是一致的：电势差是产生电流的缘由。

矩阵左零空间的物理意义

        上面咱们看了矩阵A的零空间，如下咱们讨论矩阵A的左零空间，为了给咱们的式子赋予实际意义。在下式中。咱们若是y为每条边的电流，b为每个节点的电流值，b=0说明电流为0。

该式反应的是电流中的基尔霍夫电流定律：流入一个节点的电流与流出的是相等的，即合电流为0

       举例说明，-Y1-Y3-Y4=0说明的是1号节点知足KCL的条件。

咱们可以经过高斯消元法求得解，但是咱们可以经过图来获得解：

在电路网络图中，咱们可以看到，1，2，3号节点构成一个回路。1，3，4号也构成一个回路，为了知足基尔霍夫电流定律。咱们可以仅仅让电流在回路中循环流动。即：咱们可以获得两个特解：

那么左零空间可以表示为上述两个特解的线性组合。

        对AT进行消元。咱们可以发现其秩是3，即列中有三行是线性无关的。 由上面的两个特解，咱们知道第1。2。3列是相关的，第3。4，5列是相关的，除此以外的随意三列都是线性无关的。咱们发现Y1,Y2,Y3刚好构成回路。Y3,Y4,Y5也刚好构成回路， 这说明相关性是由回路产生的。

欧拉公式的证实

欧拉公式：回路数=边数-顶点数+1

       前面文章说过。假设一个m*n的矩阵A的秩为r，则其左零空间的维数为m-r。

在这里，左零空间的维数表明的是不相关的回路数。m表明的是边数，由于矩阵A的零空间是1维的，则列空间的维数为r=n-1。

因此有下式成立（即欧拉公式）：

      不相关的回路数=边数-顶点数+1

 

原文：http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/41080571

做者：nineheadedbird