数学分析笔记7：定积分

定积分的定义与性质

定积分的定义

定积分的概念来源于求和运算的连续化，咱们目前已知的求和手段都是有限求和，为了将求和运算扩充到无限个数求和，必须引入极限手段。扩充手段有两种——可列情形对应的是级数理论，不可列情形对应的则是积分。但咱们都要首先清楚，本节所讨论的本质，就是无穷情形下的“求和”运算。
定义7.1 $f(x)$是定义在闭区间 $[a,b]$的函数， $x_0,x_1,\cdots,x_n$知足： $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$，集合 $\{x_0,x_1,\cdots,x_n\}$称为 $[a,b]$的一个分划，记为 $\Delta$
对每一个小区间： $[x_{i-1},x_i](i=1,\cdots,n)$，取 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i](i=1,\cdots,n)$，和式： $\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})}$称为 $f(x)$在分划 $\Delta$下的一个Riemann和，记为 $S(\Delta,f)$

Riemann和有鲜明的几何意义，见下图，为了求得曲线 $y=f(x)$在 $[a,b]$区间上的曲线段下的面积，咱们一般用有限矩体进行逼近。Riemann和的每一项对应一个矩形的面积，能够预见：当区间越分越细的时候，矩形面积和就逼近图形的真实面积，就是定积分的基本思想。
定义7.2 $f(x)$是定义在闭区间 $[a,b]$的函数， $\Delta = \{x_0,x_1,\cdots,x_n\}$是 $[a,b]$的任意分划，令 $\lambda(\Delta)=\max_{ 1\le i\le n}(x_{i}-x_{i-1})$，若是存在实数 $I$，对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $\lambda(\Delta)<\delta$时，不管小区间内点如何选取，都有 $|S(\Delta,f)-A|<\varepsilon$则称 $f(x)$在闭区间 $[a,b]$上Riemann可积，简称可积， $I$称为 $f(x)$在闭区间 $[a,b]$上的积分，记为 $\int_a^b{f(x)dx}=I$
定积分的几何意义就是区间 $y=f(x)$与 $x$轴，连同 $x=a$， $x=b$围成图形的面积。

定积分的可积性理论——达布理论

下一个问题是：知足什么条件下， $f(x)$在闭区间 $[a,b]$是可积的？咱们先从连续函数入手。
定理7.1 闭区间 $[a,b]$上的连续函数都是Riemann可积的

证：
为了证实闭区间 $[a,b]$上的连续函数 $f(x)$都是Riemann可积的，咱们首先要找到一个实数 $I$，也就是 $f(x)$的积分值，其次，再证实 $f(x)$的积分就是 $I$。
第一步：找一个实数 $I$。
先取一个分划列 $\Delta_n=\{x^{(n)}_0,x^{(n)}_1,\cdots,x^{(n)}_{2^n}\}$，其中 $x^{(n)}_k=a+\frac{k}{2^n}(b-a)$，令区间 $I^{(n)}_k = [x^{(n)}_{k-1},x^{(n)}_k]$， $k=1,\cdots,2^n$， $n=1,2,\cdots$。那么 $\Delta_n$是 $\Delta_{n-1}$的加细（即 $\Delta_n\subset\Delta_{n-1}$)，再令 $M_k^{(n)} = \max_{x\in I_k^{(n)}}(f(x))$, $m_k^{(n)} = \min_{x\in I_k^{(n)}}(f(x))$，做和式 $\overline{S}(\Delta_{n}) = \sum_{k=0}^{2^n}{M_k^{(n)}\frac{b-a}{2^n}}$ $\underline{S}(\Delta_{n}) = \sum_{k=0}^{2^n}{m_k^{(n)}\frac{b-a}{2^n}}$则 $\overline{S}(\Delta_{n})$是单调降低的， $\underline{S}(\Delta_{n})$是单调上升。令 $\overline{I} = \lim_{n\to\infty}{\overline{S}(\Delta_{n})}$， $\underline{I} = \lim_{n\to\infty}{\underline{S}(\Delta_{n})}$ $\overline{S}(\Delta_{n})-\underline{S}(\Delta_{n}) =\frac{b-a}{2^n}\sum_{k=0}{(M_k^{(n)}-m_k^{(n)})}$由 $f(x)$在 $[a,b]$上连续， $f(x)$在 $[a,b]$上一致连续，对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，对任意的 $[a,b]$内两点 $x_1,x_2$
，只要 $|x_1-x_2|<\delta$，就有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{b-a}$再由连续性 $f(x)$在 $[a,b]$上可取得最大值和最小值。这样，只要 $\frac{b-a}{2^n}<\delta$就有 $(M_k^{(n)}-m_k^{(n)})<\frac{\varepsilon}{b-a}$ $\overline{S}(\Delta_{n})-\underline{S}(\Delta_{n})<\varepsilon$记 $I=\overline{I}=\underline{I}$
第二步，证实： $\int_a^b{f(x)dx}=I$
对任意的分划 $\Delta$，令 $\Delta^\prime_n = \Delta_n \cup \Delta$，再令 $\Delta^\prime_n = \{y_0^{(n)},y_1^{(n)},\cdots,y_{k_n}^{(n)}\}$，其中 $a=y_0^{(n)}<y_1^{(n)}<\cdots<y_{k_n}^{(n)}=b$，任取一个Riemann和 $S(\Delta,f)$，设 $\xi_k^{(n)}$是区间 $[y_{k-1}^{(n)},y_k^{(n)}]$在 $\Delta$中对应的分划中， $f(x)$的取点。 $M_k^{'\prime(n)},m_k^{\prime(n)}$是 $f(x)$在区间 $[y_{k-1}^{(n)},y_k^{(n)}]$的最大值和最小值。
同时令 $\overline{S}(\Delta^\prime_n) = \sum_{i=0}^{k_n} {M_k^{\prime(n)}(y_k^{(n)}-y_{k-1}^{(n)})}$ $\underline{S}(\Delta^\prime_n) = \sum_{i=0}^{k_n} {m_k^{\prime(n)}(y_k^{(n)}-y_{k-1}^{(n)})}$因为 $\Delta^\prime_n$是 $\Delta_n$的加细，就有 $\underline{S}(\Delta_n)\le\underline{S}(\Delta^\prime_n) \le\overline{S}(\Delta^\prime_n)\le\overline{S}(\Delta_n)$由夹逼准则，就有 $\lim_{n\to\infty}{\overline{S}(\Delta^\prime_n)} =\lim_{n\to\infty}{\underline{S}(\Delta^\prime_n)} =I$对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $N$， $n\ge N$时，有 $|\lim_{n\to\infty}{\overline{S}(\Delta^\prime_n)}-I|< \frac{\varepsilon}{2}$取定一个 $n$，又由一致连续性，存在 $\delta>0$，当 $|x_1-x_2|<\delta$时， $|f(x_1)-f(x_2)<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$，这样，当 $\lambda(\Delta)<\delta$时， $|\xi_k^{(n)}-M_k^{\prime(n)}|< \frac{\varepsilon}{2(b-a)}$，因而 $|S(\Delta,f)-\overline{S}(\Delta^\prime_n)|<\frac{\varepsilon}{2}$ $|S(\Delta,f)-I|\le |S(\Delta,f)-\overline{S}(\Delta^\prime_n)| +|\xi_k^{(n)}-M_k^{\prime(n)}| < \varepsilon$

从正面过程能够知道，一致连续性对可积性来讲是十分重要的一个性质。
对通常的函数，在每一个小区间上不必定能取到最大值和最小值。然而，咱们依然能够仿照以上证实过程，给出一个上和和下和的概念。
定义7.3 $f(x)$是闭区间 $[a,b]$的一个有界函数， $\Delta=\{x_0,x_1,\cdots,x_n\}$是 $[a,b]$的一个分划， $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$， $M_i = \sup_{x_{i-1}<x<x_i}{f(x)},m_i=\inf_{x_{i-1}<x<x_i}{f(x)}$，称和式 $\overline{S}(\Delta,f) = \sum_{i=0}^n{M_i(x_i-x_{i-1})}$是 $f$在 $[a,b]$上的达布上和， $\underline{S}(\Delta,f) = \sum_{i=0}^n{m_i(x_i-x_{i-1})}$是 $f$在 $[a,b]$上的达布下和

容易证实以下三条引理
引理7.1 $f(x)$是闭区间 $[a,b]$的一个有界函数， $\Delta=\{x_0,x_1,\cdots,x_n\}$是 $[a,b]$的一个分划， $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$， $\overline{S}(\Delta,f)$是一切 $f$在 $\Delta$上的Riemann和的上确界， $\underline{S}(\Delta,f)$是一切 $f$在 $\Delta$上的Riemann和的下确界

引理7.2 $f(x)$是闭区间 $[a,b]$的一个有界函数， $\Delta_1,\Delta_2$是 $[a,b]$的两个分划，而且， $\Delta_1\subset\Delta_2$，则 $\underline{S}(\Delta_1)\le\underline{S}(\Delta_2) \le\overline{S}(\Delta_2)\le\overline{S}(\Delta_1)$

引理7.3 $f(x)$是闭区间 $[a,b]$的一个有界函数，则 $f(x)$的任意达布下和不超过任意达布上和，即便他们对应不一样的分划

这样，一切达布上和有下界，一切达布上和有上界，那么达布上和有下确界，咱们记为 $\overline{I}$，达布下和有上确界，咱们记为 $\underline{I}$，而且 $\underline{I}\le \overline{I}$。相似于连续函数可积性的证实过程，咱们猜测： $\underline{I}= \overline{I}=I$时， $I$就是 $f(x)$在 $[a,b]$上的积分。
定理7.2 有界函数 $f(x)$在 $[a,b]$上可积的充要条件是： $\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}{[ \overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f) ]}=0$

证：
必要性，若是 $f(x)$在 $[a,b]$上可积，设 $I=\int_a^b{f(x)dx}$。
对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$,对任意的分划 $\Delta$，当 $\lambda(\Delta)<\delta$时，任意 $S(\Delta,f)$都有： $I-\varepsilon < S(\Delta,f) < I+\varepsilon$由引理7.2 $\overline{S}(\Delta,f)\le I+\varepsilon$ $\underline{S}(\Delta,f)\ge I-\varepsilon$就有 $I-\varepsilon \le \underline{S}(\Delta,f) \le \underline{I} \le \overline{I} \le \overline{S}(\Delta,f) \le I+\varepsilon$这样， $\overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f) \le 2\varepsilon$这就说明了， $\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}{[ \overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f) ]}=0$同时，由 $\varepsilon$的任意性，还能够得出 $\overline{I}=\underline{I}$的结论
充分性，若是 $\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}{[ \overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f) ]}=0$由不等式： $\underline{S}(\Delta,f) \le \underline{I} \le \overline{I} \le \overline{S}(\Delta,f) \le$能够得出结论： $\overline{I}=\underline{I}$
设 $\overline{I}=\underline{I}=I$，对任意的分划 $\Delta$，就有 $\underline{S}(\Delta,f)\le I \le\overline{S}(\Delta,f)$对任意的Riemann和，都有 $\underline{S}(\Delta,f)\le S(\Delta,f) \le \overline{S}(\Delta,f)$这样， $0<|S(\Delta,f)-I|\le \overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f)$对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$， $\lambda(\Delta)<\delta$时，都有 $\overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f)<\varepsilon$这样，任意的 $S(\Delta,f)$都有 $|S(\Delta,f)-I|<\varepsilon$这就证实了 $\int_a^b{f(x)dx}=I$

从证实的过程也能够看出，若是可积时，必定有 $\overline{I}=\underline{I}=\int_a^b{f(x)dx}$但上下积分相等能不能直接获得可积性呢？实际上，咱们由以下的达布定理。

定理7.3（达布定理） $f(x)$是闭区间 $[a,b]$上的有界函数，则有 $\lim_{\lambda(\Delta)\to 0 }{ \underline{S}(\Delta) = \underline{I} }$ $\lim_{\lambda(\Delta)\to 0 }{ \overline{S}(\Delta) = \overline{I} }$

由达布定理，就有以下推论：
推论7.1 $f(x)$是 $[a,b]$上的有界函数，则 $f(x)$在 $[a,b]$上Riemann可积的充要条件是 $\underline{I}=\overline{I}$

下面咱们证实定理7.3：

证： 咱们仅证 $\lim_{\lambda(\Delta)\to 0 }{ \overline{S}(\Delta) = \overline{I} }$， $\lim_{\lambda(\Delta)\to 0 }{ \underline{S}(\Delta) = \underline{I} }$的证实是相似的。
对任意 $\varepsilon>0$，取由上积分的定义，存在分划列 $\{\Delta_0\}$，知足 $\overline{I}\le \overline{S}(\Delta_0,f) <\overline{I} +\frac{\varepsilon}{2}$对任意的分划 $\Delta$，令 $\Delta^\prime_0=\Delta_0\cup\Delta$，就有
$\overline{I}\le \overline{S}(\Delta^\prime_0,f)\le \overline{S}(\Delta_0,f) < \overline{I} + \frac{\varepsilon}{2}$只要考察 $|\overline{S}(\Delta,f)-\overline{S}(\Delta^\prime_0,f)|$便可
实际上，对 $\Delta$的每个小区间，若是其中没有 $\Delta_n$的分点， $\Delta$和 $\Delta^\prime_n$对应的项没有差距，差异就体如今插入了 $\Delta_n$分点的小区间上。
不妨设 $|f(x)|\le M>0$，若是某个小区间插入了一个分点，那么对应的上确界之差不超过 $2M$，设 $N$为 $\Delta_n$的分点个数（ $N>2$)。那么，若是 $\Delta$的某个区间彻底含在 $\Delta_0$的某个区间内，那么， $\Delta_0^\prime$内的某个区间与 $\Delta$的这个区间是相同的，不会对达布上和有影响，对达布上和有影响的只有插入了 $\Delta_0$分点的区间，最多只有 $N-2$个 $\Delta$的区间对达布上和影响，假设 $\Delta$的某个区间 $[x_{k-1},x_k]$中插入了一个分点 $c(c\in(x_{k-1},x_k))$，设 $f(x)$在 $[x_{k-1},c]$上的上确界为 $M_1$，在 $[c,x_k]$上上确界为 $M_2$，在 $[x_{k-1},x_k]$的上确界为 $M_0$，从而 $\begin{aligned} &|M_1(c-x_{k-1})+M_2(x_k-c)-M_0(x_k-x_{k-1})|\le 2M(x_k-x_{k-1}) \\\le &2M\lambda(\Delta) \end{aligned}$从而 $\begin{aligned} |\overline{S}(\Delta,f)-\overline{S}(\Delta_0^\prime,f)|\le 2M(N-2)\lambda(\Delta) \end{aligned}$当 $\displaystyle \lambda(\Delta)<\frac{\varepsilon}{4M(N-2)}$时 $\begin{aligned} &|\overline{S}(\Delta,f)-\overline{I}|\\ \le & |\overline{S}(\Delta,f)-\overline{S}(\Delta_0^\prime,f)|+|\overline{S}(\Delta_0^\prime,f)-\overline{I}|<\varepsilon \end{aligned}$所以 $\displaystyle \lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\overline{S}(\Delta,f)=\overline{I}$

可积函数类

定积分的性质

下面，咱们来证实定积分的一些性质。
定理7.4（有界性） $f(x)$在 $[a,b]$上可积，那么 $f(x)$就在 $[a,b]$上有界。

证：
设 $\int_a^b{f(x)dx}=I$，反证法证实，若是 $f(x)$无界，那么任取分划 $\Delta:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$，必然有一个小区间无界，设就是 $[x_0,x_1]$
能够取得 $\xi_n\in[x_0,x_1]$，使得 $|f(\xi_n)|>n$，这样，不管 $\lambda(\Delta)$有多小，均可以取得 $\xi_n\in[x_0,x_1]$，在其余区间的取法给定的条件下，Riemann和能够任意大，与可积矛盾

所以，对积分的讨论都是创建在有界函数上的。下面咱们还要证实以下的定理。
定理7.5 $f(x)$在 $[a,b]$上可积，则 $|f(x)|$在 $[a,b]$上可积

证：
这是由于对任意的 $x_1,x_2\in[a,b]$，都有 $||f(x_1)|-|f(x_2)||\le|f(x_1)-f(x_2)|$对任意的分划 $\Delta:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=n$， $0\le\overline{S}(\Delta,|f|)-\underline{S}(\Delta,|f|) \le \overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f)$令 $\lambda(\Delta)\to 0$，就有
$\lim_{\lambda(\Delta)\to 0} { \overline{S}(\Delta,|f|)-\underline{S}(\Delta,|f|) } =0$

相似地，能够证实：
定理7.6 $f(x)$在 $[a,b]$上可积，则 $f(x)$在 $[a,b]$的任意子区间可积
证实比较简单，这里就不写出具体的证实过程了。
下面，咱们就能够给出Riemann积分的一些性质。
定理7.7
(1)(线性性质) $f(x)$和 $g(x)$在 $[a,b]$上Riemann可积，则对任意的实数 $c,d$， $cf(x)+dg(x)$在 $[a,b]$上Riemann可积，而且 $\int_a^b{cf(x)+dg(x)dx} =c\int_a^b{f(x)dx}+d\int_a^b{g(x)dx}$(2)(不等式性质) $f(x)$和 $g(x)$在 $[a,b]$上Riemann可积，而且 $f(x)\le g(x) ,\forall x \in [a,b]$，则 $\int_a^b{f(x)dx}\le \int_a^b{g(x)dx}$(3)(绝对值性质) $f(x)$在 $[a,b]$上Riemann可积，则 $|\int_a^b{f(x)dx}|\le\int_a^b{|f(x)|dx}$(4)(区间可加性)对任意的 $a<c<b$， $f(x)$在 $[a,b]$上可积的充要条件是 $f(x)$在 $[a,c]$和 $[c,b]$上均可积，而且 $\int_a^c{f(x)dx} + \int_c^b{f(x)dx} =\int_a^b{f(x)dx}$

证：
(1)对任意的分划 $\Delta:a=x_0<x_1<\cdots,x_n=b$，对任意的 $\xi_k\in[x_{k-1},x_k](k=1,\cdots,n)$，有 $|\sum_{k=1}^{n}[cf(\xi_n)+dg(\xi_n)(x_{k}-x_{k-1})]-c\int_a^b{f(x)dx}-d\int_a^b{g(x)dx}|\le\\ |c||\sum_{k=1}^n{f(\xi_n)(x_k-x_{k-1})}-\int_a^b{f(x)dx}| +|d||\sum_{k=1}^n{g(\xi_n)(x_k-x_{k-1})}-\int_a^b{g(x)dx}|$对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta_1>0$， $\lambda(\Delta)<\delta_1$时，有 $|\sum_{k=1}^n{f(\xi_n)(x_k-x_{k-1})}-\int_a^b{f(x)dx}|<\frac{\varepsilon}{2|c|}$又存在 $\delta_2>0$， $\lambda(\Delta)<\delta_2$时，有 $|\sum_{k=1}^n{g(\xi_n)(x_k-x_{k-1})}-\int_a^b{g(x)dx}|<\frac{\varepsilon}{2|d|}$所以，当 $\lambda(\Delta)<\min(\delta_1,\delta_2)$时，就有 $|\sum_{k=1}^{n}[cf(\xi_n)+dg(\xi_n)(x_{k}-x_{k-1})]-c\int_a^b{f(x)dx}-d\int_a^b{g(x)dx}|<\varepsilon$(2)(3)的证实比较简单，省略
下面证实(4)：只证实前一个命题，后一个命题比较容易，而前一命题只须要证实充分性
实际上，由达布定理，咱们只须要取得一个分划列 $\{\Delta_n\}$， $\lambda(\Delta_n)\to 0$，有 $\overline{S}(\Delta_n)-\underline{S}(\Delta_n)\to 0$就能够证得可积性，而这能够经过分别取 $[a,c]$和 $[c,b]$的分划列 $\{\Delta^{1}_n\}$和 $\{\Delta^2_n\}$，再合并成 $\{\Delta_n\}$便可证得结论。

微积分基本定理

微积分基本定理

上一章，咱们把微分的逆运算称为“不定积分”，但从定积分的定义来看，“不定积分”离真正的“积分”的定义还相去甚远。本节要证实的微积分基本定理，正是搭起微分和积分的一座桥梁。
定理7.8(微积分基本定理) $f(x)$在 $[a,b]$上可积且原函数存在，原函数为 $F(x)$，则 $\int_a^b{f(x)dx} = F(b)-F(a)$

证：对 $[a,b]$的任意分划 $\Delta:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$，有 $\tag{1} F(b)-F(a)=\sum_{k=1}^n{F(x_k)-F(x_{k-1})}$由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_k \in (x_{k-1},x_k)$，知足 $F(x_k)-F(x_{k-1})=f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})$ $k=1,\cdots,n$,代入(1)中，有 $F(b)-F(a)=\sum_{k=1}^n{f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})}$再令 $\lambda(\Delta)\to 0$，按照定积分的定义，有
$\int_a^b{f(x)dx} = F(b)-F(a)$

微积分基本定理将原函数和积分联系在一块儿，而原函数是微分的逆运算，所以，在原函数存在的状况下，就为定积分的计算提供了一种手段。

变上限积分的性质

微积分基本定理要求 $f(x)$可积，可积性问题由达布理论能够解决。还要求 $f(x)$原函数存在，原函数存在性问题，咱们至今没有介绍，如今，咱们利用定积分，能够回答这个问题。
定理7.9
(1) $f(x)$在 $[a,b]$上可积，那么变上限积分 $\int_a^x{f(x)dx}$是 $[a,b]$上的连续函数
(2)若是 $f(x)$在 $[a,b]$上连续，那么变上限积分 $\int_a^x{f(x)dx}$在 $[a,b]$上可导，而且导函数为 $f(x)$

利用定理7.9的结论(2)，就有以下推论：
定理7.10(原函数存在定理) 闭区间上的连续函数都存在原函数

在证实定理7.9以前，咱们先证实积分第一中值定理：
定理7.11(积分第一中值定理) $f(x)$在 $[a,b]$上连续，可积函数 $g(x)$在 $[a,b]$非负，则存在 $\xi\in[a,b]$，使得 $\int_a^b{f(x)g(x)dx}=f(\xi)\int_{a}^b{g(x)dx}$

证：
设 $f(x)$在 $[a,b]$上的最大值和最小值分别为 $M$和 $m$，由积分的不等式性质，有 $m\int_{a}^b{g(x)dx}\le\int_a^b{f(x)g(x)dx}\le M\int_{a}^b{g(x)dx}$不妨设 $\int_{a}^b{g(x)dx}>0$，从而 $m\le\frac{\int_a^b{f(x)g(x)dx}}{\int_{a}^b{g(x)dx}}\le M$再由连续函数的介值定理，存在 $\xi\in[a,b]$，知足： $f(\xi)=\frac{\int_a^b{f(x)g(x)dx}}{\int_{a}^b{g(x)dx}}$

下面咱们证实定理7.9：

证：(1) $|\int_a^{x+\Delta x}{f(x)dx}-\int_a^x{f(x)dx}|\le \\|\int_x^{x+\Delta x}{f(x)dx}|\le \int_x^{x+\Delta x}{|f(x)|dx}$由 $f(x)$可积， $f(x)$有界，设 $|f(x)|\le M>0$，则 $|\int_a^{x+\Delta x}{f(x)dx}-\int_a^x{f(x)dx}|\le M|\Delta x|$对任意的 $\varepsilon>0$，当 $|\Delta x|<\frac{\varepsilon}{M}$时，就有 $|\int_a^{x+\Delta x}{f(x)dx}-\int_a^x{f(x)dx}| <\varepsilon$(2) $\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{\int_x^{x+\Delta x}{f(x)dx}}{\Delta x}}\\ =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(\xi)\Delta x}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0}{f(\xi)} =f(x)$以上等式中的 $\xi$介于 $x$和 $x+\Delta x$之间

定积分的换元积分法和分部积分法

由微积分基本定理，咱们就能够把求原函数的换元积分法和分部积分法，推广到定积分的计算当中。
定理7.12 $\phi(t)$在 $[a,b]$上可导， $f(\phi(t))\phi^\prime(t)$在 $[a,b]$上可积， $f(x)$在 $[\phi(a),\phi(b)]$上可积且原函数存在，则 $\int_a^b{f(\phi(t))\phi^\prime(t)dt} =\int_{\phi(a)}^{\phi(b)}{f(x)dx}$

证：
因为 $f(x)$在 $[\phi(a),\phi(b)]$上的原函数存在，设为 $F(x)$
$F(\phi(t))$是 $f(\phi(t))\phi^\prime(t)$在 $[a,b]$的原函数。
由微积分基本定理，有 $\int_a^b{f(\phi(t))\phi^\prime(t)dt} =F(\phi(b))-F(\phi(a))$ $\int_{\phi(a)}^{\phi(b)}{f(x)dx} =F(\phi(b))-F(\phi(a))$所以， $\int_a^b{f(\phi(t))\phi^\prime(t)dt} =\int_{\phi(a)}^{\phi(b)}{f(x)dx}$

定理7.13 若是 $x=\phi(t)$的导数恒为正， $f(x)$在 $[a,b]$上可积， $f(\phi(t))\phi^\prime(t)$在 $[\phi^{-1}(a),\phi^{-1}(b)]$上存在原函数且可积，则
$\int_a^b{f(x)dx}=\int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)}{ f(\phi(t))\phi^\prime(t)dt }$
定理7.14 $f(x),g(x)$可导， $g(x)$原函数为 $G(x)$， $f^\prime(x)G(x)$在 $[a,b]$上的原函数存在且可积，则 $\int_a^b{f(x)g(x)dx} =f(b)G(b)-f(a)G(a)-\int_a^b{f^\prime(x)G(x)dx}$
证实是相似的，这里不证。

积分第二中值定理

积分第二中值定理在反常积分的证实中十分关键，咱们先给出积分第二中值定理的内容。
定理7.15(积分第二中值定理) $g(x)$在 $[a,b]$上可积
(1) $f(x)$在 $[a,b]$上单调上升, $f(x)\ge0$，则存在 $\xi \in [a,b]$ $\int_a^b{f(x)g(x)dx} =f(b)\int_\xi^b{g(x)dx}$(2) $f(x)$在 $[a,b]$上单调降低， $f(x)\ge 0$，则存在 $\xi \in [a,b]$
$\int_a^b{f(x)g(x)dx} =f(a)\int_a^\xi{g(x)dx}$(3) $f(x)$在 $[a,b]$上单调，则存在 $\xi \in [a,b]$ $\int_a^b{f(x)g(x)dx} =f(a)\int_a^\xi{g(x)dx}+f(b)\int_\xi^b{g(x)dx}$

因为定理的条件十分宽松，所以，咱们不妨把条件增强给出一个简单的证实，再从这个证实中寻找证实的思路。
假设 $f(x)$在 $[a,b]$上单调上升且有连续导数， $g(x)$在 $[a,b]$连续，令 $G(x)=\int_x^b{g(t)dt}$， $G^\prime(x) = -g(x)$，由分部积分法： $\tag{3} \int_a^b{f(x)g(x)dx}=-\int_a^b{f(x)dG(x)} =-f(x)G(x)|_a^b + \int_a^b{f^\prime(x)G(x)dx}\\ =f(a)\int_a^b{g(t)dt} + \int_a^b{f^\prime(x)G(x)dx}$设 $M,m$是 $G(x)$在 $[a,b]$上的最大值和最小值，那么就有 $m\int_a^b{f^\prime(x)dx}\le \int_a^b{f^\prime(x)G(x)dx} M \int_a^b{f^\prime(x)dx}$即 $m\le \frac{\int_a^b{f^\prime(x)G(x)dx}}{f(b)-f(a)} \le M$