[pytorch]pytorch loss function 总结

原文： http://www.voidcn.com/article/p-rtzqgqkz-bpg.html

最近看了下 PyTorch 的损失函数文档，整理了下本身的理解，从新格式化了公式以下，以便之后查阅。

注意下面的损失函数都是在单个样本上计算的，粗体表示向量，不然是标量。向量的维度用 N 表示。

nn.L1Loss

loss(x,y)=1N∑i=1N|x−y|

nn.SmoothL1Loss

也叫做 Huber Loss，偏差在 (-1,1) 上是平方损失，其余状况是 L1 损失。

loss(x,y)=1N⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪12(xi−yi)2|xi−yi|−12,if |xi−yi|<1otherwise

nn.MSELoss

平方损失函数

loss(x,y)=1N∑i=1N|x−y|2

nn.BCELoss

二分类用的交叉熵，TODO

loss(o,t)=−1N∑i=1N[ti∗log(oi)+(1−ti)∗log(1−oi)]

nn.CrossEntropyLoss

交叉熵损失函数

loss(x,label)=−logexlabel∑Nj=1exj=−xlabel+log∑j=1Nexj

而 x 是没有通过 Softmax 的激活值。参考 cs231n 做业里对 Softmax Loss 的推导。

nn.NLLLoss

负对数似然损失函数（Negative Log Likelihood）

loss(x,label)=−xlabel

在前面接上一个 LogSoftMax 层就等价于交叉熵损失了。注意这里的 xlabel 和上个交叉熵损失里的不同（虽然符号我给写同样了），这里是通过 log 运算后的数值，

nn.NLLLoss2d

和上面相似，可是多了几个维度，通常用在图片上。

• input, (N, C, H, W)
• target, (N, H, W)

好比用全卷积网络作 Semantic Segmentation 时，最后图片的每一个点都会预测一个类别标签。

nn.KLDivLoss

KL 散度，又叫作相对熵，算的是两个分布之间的距离，越类似则越接近零。

loss(x,y)=1N∑i=1N[yi∗(logyi−xi)]

注意这里的 xi 是 log 几率，刚开始还觉得 API 弄错了。

nn.MarginRankingLoss

评价类似度的损失

loss(x1,x2,y)=max(0,−y∗(x1−x2)+margin)

这里的三个都是标量，y 只能取 1 或者 -1，取 1 时表示 x1 比 x2 要大；反之 x2 要大。参数 margin 表示两个向量至少要相聚 margin 的大小，不然 loss 非负。默认 margin 取零。

nn.MultiMarginLoss

多分类（multi-class）的 Hinge 损失，

loss(x,y)=1N∑i=1,i≠yNmax(0,(margin−xy+xi)p)

其中 1≤y≤N 表示标签， p 默认取 1， margin 默认取 1，也能够取别的值。参考 cs231n 做业里对 SVM Loss 的推导。

nn.MultiLabelMarginLoss

多类别（multi-class）多分类（multi-classification）的 Hinge 损失，是上面 MultiMarginLoss 在多类别上的拓展。同时限定 p = 1，margin = 1.

loss(x,y)=1N∑i=1,i≠yjn∑j=1yj≠0[max(0,1−(xyj−xi))]

这个接口有点坑，是直接从 Torch 那里抄过来的，见 MultiLabelMarginCriterion 的描述。而 Lua 的下标和 Python 不同，前者的数组下标是从 1 开始的，因此用 0 表示占位符。有几个坑须要注意，

1. 这里的 x,y 都是大小为 N 的向量，若是 y 不是向量而是标量，后面的 ∑j 就没有了，所以就退化成上面的 MultiMarginLoss.
2. 限制 y 的大小为 N ，是为了处理多标签中标签个数不一样的状况，用 0 表示占位，该位置和后面的数字都会被认为不是正确的类。如 y=[5,3,0,0,4] 那么就会被认为是属于类别 5 和 3，而 4 由于在零后面，所以会被忽略。
3. 上面的公式和说明只是为了和文档保持一致，其实在调用接口的时候，用的是 -1 作占位符，而 0 是第一个类别。

举个梨子，

import torch
loss = torch.nn.MultiLabelMarginLoss()
x = torch.autograd.Variable(torch.FloatTensor([[0.1, 0.2, 0.4, 0.8]]))
y = torch.autograd.Variable(torch.LongTensor([[3, 0, -1, 1]]))
print loss(x, y) # will give 0.8500

按照上面的理解，第 3, 0 个是正确的类，1, 2 不是，那么，

loss=14∑i=1,2∑j=3,0[max(0,1−(xj−xi))]=14[(1−(0.8−0.2))+(1−(0.1−0.2))+(1−(0.8−0.4))+(1−(0.1−0.4))]=14[0.4+1.1+0.6+1.3]=0.85

*注意这里推导的第二行，我为了简短，都省略了 max(0, x) 符号。

nn.SoftMarginLoss

多标签二分类问题，这 N 项都是二分类问题，其实就是把 N 个二分类的 loss 加起来，化简一下。其中 y 只能取 1,−1 两种，表明正类和负类。和下面的实际上是等价的，只是 y 的形式不一样。

loss(x,y)=∑i=1Nlog(1+e−yixi)

nn.MultiLabelSoftMarginLoss

上面的多分类版本，根据最大熵的多标签 one-versue-all 损失，其中 y 只能取 1,−1 两种，表明正类和负类。

loss(x,y)=−∑i=1N[yilogexi1+exi+(1−yi)log11+exi]

nn.CosineEmbeddingLoss

余弦类似度的损失，目的是让两个向量尽可能相近。注意这两个向量都是有梯度的。

loss(x,y)={1−cos(x,y)max(0,cos(x,y)+margin)if if y==1y==−1

margin 能够取 [−1,1] ，可是比较建议取 0-0.5 较好。

nn.HingeEmbeddingLoss

不知道作啥用的。另外文档里写错了， x,y 的维度应该是同样的。

loss(x,y)=1N{ximax(0,margin−xi)if if yi==1yi==−1

nn.TripleMarginLoss

L(a,p,n)=1N(∑i=1Nmax(0, d(ai,pi)−d(ai,ni)+margin))

其中 d(xi,yi)=∥xi−yi∥22