外卖配送路径规划算法：两阶段快速启发式算法

0.写在前面

外卖配送是运筹优化算法重要应用领域，它的主要特色是并发高、延时低，为了解决这样的问题须要对业务进行深刻理解，设计定制化优化手段。原计划时机成熟的时候进行解读，因为属于以前团队的商业核心机密，计划暂时搁置。去年前同事发了一篇paper（A Two-Stage Fast Heuristic for Food Delivery Route Planning Problem），十分清晰明了。鉴于此本文再也不狗尾续貂，仅作翻译，一是方便后来者阅读，二也对以前的工做作一次回顾。

1.背景

在外卖场景，用户在外卖平台点单以后，订单信息会推送至商家确认接单，以后进入履约环节。调度系统对订单进行指派和路径规划，外卖配送员根据订单指派完成取餐和送餐任务。

而在配送问题中，路径规划是基本且重要的一个环节，它直接决定骑手服务路线的长度和时间，从而对订单的准时率、客户满意度都产生影响。下图是配送中骑手服务的路径规划示意图，该骑手身上有5个订单，其路径规划结果为：取（4个）⟶送（2个）⟶取（1个）⟶送（3个）。

目前，路径规划主要存在以下困难：

• 计算量爆炸：因为路径规划是NP难问题，没法采用多项式算法在有限时间内求解。当问题规模增大时，计算量也呈指数增加。例如，在（午晚）高峰时刻，每一个骑手身上均可能有10个以上的订单须要完成，在这种状况下，可能的路径规划结果有2.38×1015种，想要在有限时间内求解是极困难的。
• 算法时效要求高：路径规划是指派算法的重要环节。指派算法是在线算法，线上会有大量的订单和骑手须要进行匹配，所以路径规划算法须要在极短期内获得结果（毫秒级）

学界与配送场景下的路径规划问题相关的研究主要集中于PDPTW问题（pickup and delivery problem with time-windows），它考虑多个骑手和多个客户，每一个客户的订单包含一个取点与一个送点，骑手按规定顺序访问各个节点完成订单的服务，从而达到某些目标函数（例如总行驶距离）的最优。求解PDPTW问题的算法包括：列生成算法（column generation）、分支切割（branch-and-cut）、分支切割订价（branch-and-cut-and-price）等精确计算算法，禁忌搜索（tabu search）、模拟退火（simulated annealing algorithm）、基于插入搜索的算法（insertion-based heuristic）、自适应大邻域搜索（adaptive large neighborhood search）、变深度搜索（variable-depth search algorithm）。因为在配送场景下，对算法时效性有极高的要求，上述算法均没法适用于配送场景的问题。在后文中，咱们将介绍路径规划的问题模型，以及提出的启发式算法（Two-Stage Fast Heuristic），同时给出了一些仿真结果。

2.问题模型

背景中提到的配送场景下的路径规划问题能够被简化建模成单车辆PDPTW问题（single vehicle pickup and delivery problem with time-windows），即原PDPTW问题的单车辆简化（仅有一个骑手）。下图表示单车辆PDPTW问题研究中的一条典型路径。其中t_i为每一个送点的预计送达时间（ETA，Estimated Time of Arrival），当订单产生时，t_i即被告知给商家和客户。T_i表示预估送达时间（ETR，Estimated Time of Route），由路径规划算法计算得出。d_i为点i−1到点i的距离。

本文中咱们考虑最小化订单超时时间与路径长度，即目标函数为，该问题有两个约束：

• 优先约束：订单的取点需在送点前访问
• 容量约束：骑手在服务过程当中同时携带的订单数量具备上限

3.算法设计

TSFH（Two-Stage Fast Heuristic)主要包括两个阶段

• stage I：初始化获得一个初始可行解⟶采用贪婪插入策略与基于地理信息的加速策略
• stage II：对初始解进行邻域搜索⟶两种邻域分别对“最超时”和“最不超时”订单进行调整

3.1初始化

3.1.1贪婪插入初始化

贪婪插入初始化主要包括如下步骤：

1. 订单按照ETA时间升序排序；
2. 取出第一个订单，进行排序。注意收到优先约束的影响，只有一种排列方法（取点在送点前）；
3. 对剩余的订单，按顺序将其取送点插入全部可能位置，找到最优位置（目标函数最小），将其插入。

下图为初始化中贪婪插入的一个例子，在插入第二个订单时，咱们有6种插入方案，根据目标函数最小原则，（A）为最优插入方案。

当全部点都完成插入后，便获得一个可行解。

3.1.2基于地理信息的加速策略

观察商家和客户的地理信息能够发现，商家之间可能距离很近（例如中心商业区域所含的商家可能服务半径5km之内的60%的客户），客户也是如此（多个客户可能位于同一个小区或楼宇）。所以咱们能够经过分层聚类的方法将取送点聚类为不一样的集群，经过对这些集群进行分析，咱们能够减小无效插入，提升贪婪插入初始化的速度。根据引理1，2能够获得加速策略以下：若节点j被分到组i，则最好的插入策略是将其插入组i，或是组i以后的组之间。

下面分别介绍聚类算法以及相关引理。

【聚类算法】 令D为聚类范围（例如D=100m），按照如下逻辑对各个节点进行聚类：

• 若节点i未被分类，则节点i产生一个新组，并变成该组的中心点
• 对于一个节点j，若是节点j没有被分类，且d_ij<D，则j被分到组i
• 若节点j被分到组k，且j不是中心点，若是d_ij<d_kj，则将j从新分至组i

【Lemma 1】将节点插入所在组以前的组： 若是节点j被分至组i，则将节点j插入到组i以前的任何组必定劣于将节点j插入组i

Proof： 节点j属于组i，则将节点j插入到组i以前的任何组k必定不如将节点j直接插入组i，由于路径长度变长了，但no delivery point benefits from shorter delays.

下图给出了一个例子，取点和送点被分红了三个组，假设蓝色组与橙色组的点已经完成插入，咱们考虑绿色组的节点的插入。从图中能够看到，将节点插入所在组以前的组（B）老是比插入本身所在的组（A）更差，由于骑手路径长度变长，客户处可能会出现更高的超时。

【Lemma 2】将节点插入所在组以后的组： 若是节点j被分至组i，则咱们总能够找到一个插入方案优于将节点j插入到组i以后的组k

Proof： 节点j属于组i，则将节点j插入到组i以后的组k必定不如将节点j插入组k和组k+1之间（若是k是最后一个组，则插入到最后位置），由于路径长度变长了，但no delivery point benefits from shorter delays.

下图给出了一个例子，取点和送点被分红了三个组，假设橙色组与绿色组的点已经完成插入，咱们考虑蓝色组的节点的插入。从图中能够看到，将节点插入所在组以后的组之间（B）必定比插入到最后位置（A）更差，由于骑手路径长度变长，客户处可能会出现更高的超时。

3.2局部搜索

在初始化结束后，局部搜索经过在初始解的邻域范围内进行搜索来提升解的质量。咱们的算法考虑两种类型的邻域：

• 找到超时最严重的节点，将其前移，插入最优位置。流程以下图A所示。
• 找到超时最不严重的节点，将其后移，插入最优位置。流程以下图B所示。

注：每次局部搜索找到一个更好的解时，当前最优解即被替换。

4.仿真结果

本节给出一些仿真结果。首先咱们比较了带有加速策略初始化与不带加速策略初始化的结果，以验证初始化中加速策略的有效性。以后，咱们将TSFH产生的解与暴力算法获得的最优解进行比较，从而验证TSFH产生近似最优解的能力。最后，咱们将TSFH与目前最好的一些算法进行比较，验证TSFH求解该问题的有效性。

算例从实际路径规划问题中均匀采样获得，根据取送点的数量分为三类：“<10”, "10-20", ">20"。

算法的评价指标采用总分（Total Score）和平均时间（Average Time）。总分为超时时间与路径长度的和，平均时间为一个算例的平均运行时间。

运行环境为MacBook Pro with 2.2 GHz processors / 16 GB RAM in Mac-OS，编程语言为Java，IDE为Eclipse。

4.1加速策略效果

表一为带有加速策略初始化与不带加速策略初始化的比较结果。能够看出，加速策略有着明显的效果。例如"10-20"算例的平均运行时间从0.37降至0.21，减小了43.2%。同时，从总分能够看出，加速策略初始化的效果几乎没有受到影响，这证实加速策略不会以牺牲解的质量为代价，能够在短期内产生优良解。

4.2与暴力算法比较

问题规模较小时，该问题的最优解能够经过暴力搜索算法来获得。考虑n个取点和n个送点，不考虑容量约束的条件下，暴力搜索算法的复杂度为。这里咱们只提供“<10”算例的比较结果如表二。

能够看出，对于“<10”的算例，TSFH仅需暴力算法运行时间的0.21%，便可达到几乎同样的效果。另外，“10-20”与“>20”算例的运行时间也均在毫秒级。在现实中，大部分状况均可被“<10”和“10-20”的算例覆盖，所以这代表TSFH足以在毫秒数量级内解决配送中的路径规划问题。

4.3与其余最优算法比较

TSFH与variable-depth search (VDS)、simulated annealing (SA)的比较结果如表三。能够看出TSFH在总分和平均时间两方面都优于VDS和SA。在“<10”算例中，TSFH达到了近似最优解，仅比最优解高0.7%，而VDS和SA分别高了29.4%和35.7%。另外，TSFH求解“<10”算例的平均时间为0.41ms，而VDS和SA分别为3.51ms和25.64ms。配送环境中的路径规划对于算法的运行速度有着极高的要求，TSFH能够在1ms内完成“<10”算例的求解，而VDS和SA的运行时间均没法接受。所以，TSFH是比VDS和SA更好更有效的算法，也更适用于配送环境下的路径规划问题求解。

5.总结

本篇文章将外卖配送环境下的路径规划问题建模为单车辆PDPTW问题。与传统求解单车辆PDPTW问题的算法不一样，本篇提出了一种两阶段快速启发式算法（TSFH）。在第一阶段，经过贪婪初始化获得一个可行的优良解。根据顾客和商户的地理位置信息，设计了一种加速策略，在节点调整时避免了无效插入。在第二阶段，经过在当前解的两种邻域内进行搜索，解的质量获得了进一步提高。

仿真结果代表，TSFH与暴力搜索算法、VDS、SA相比，在解的质量和运行时间方面均有着极大的优点。同时，TSFH具有在毫秒数量级内产生近似最优解的能力，适用于配送场景下路径规划问题的求解。