卡特兰数 [转载]

me 一个童鞋跟 me 提过一个问题：说1-12 这 12 个数，分红 2 组，而后每组按大小排序，其中一组中的数老是比另一组中对应顺序的数要大，问有多少种状况？me 还真作不出来，他告诉 me 说这是Catalan数。即便他这么说，me 貌似仍是不太明白。不过这不影响，me 简单搜索一下这个数(其实me之前就有所耳闻)，有好几个用处，简单罗列一下。

平衡括号

平衡括号：在一个合法的算术表达式中能够出现的括号都是平衡括号，更专业一点的说法应该是“全部的左括号和右括号能够创建一对一的对应关系，而且左括号在对应的右括号左侧”。像()(), (())(), (()())(()) 都是平衡括号，可是(()))(, ()())() 就不是平衡括号。

观察一下特色，判断所给的一个括号串是否是平衡很容易：设置一个计数器，初始值为 0，而后从左向右数，遇到左括号 +1，遇到右括号 -1，在过程当中不出现负数，而且最终的计数器仍是 0，那么就是平衡括号；除此以外就是非平衡括号。

如今的问题是，若是有 n 对括号，问平衡的状况有多少种？暂时能够数一下 n = 1, 2, 3, 4 时的状况：

n = 1: ()
n = 2: ()(),   (())
n = 3: ()()(),  ()(()), (())(), (()()), ((()))
n = 4:()()()(), ()()(()), ()(())(), ()(()()), ()((())), (())()(), (())(()), (()())(), ((()))(), (()()()), (()(())), ((())()), ((()())), (((())))

入栈出栈

问：n 个数入栈出栈，问状况有多少种？

好比所有入进去而后倒退出栈是 1 种；入一个出一个，所有都这样，是 1 种。入栈出栈的状况和n个数相不相同没有关系。由于能够视第一个入栈的为 1，第二个为 2，最后一个为 n。若是是 n 个相同的数的入栈出栈状况，假设数字都是括号，入栈是左括号，出栈是右括号，那么一种入栈出栈状况应该就对应平衡括号中的一种状况，因此，该问题和问题1是等价问题。

走方格

问：一个 n*n 的方格，从左下角走到右上角，只能向右和向上走，可是不能绕过左下角和右上角肯定的对角线，问有多少种走法？

若是将向右走看作是入一下栈，向上走是出一下栈，不能绕道对角线以上，也就是一种合法的入栈出栈，从左下角开始到右上角，要入 n 次栈出 n 次栈，因此一种走法对应一种 n 个数的入栈出栈状况，因而，此问题和问题2是等价问题；

二叉树的形状

问：n 个结点的二叉树的形状有多少种？

所谓的二叉树，就是有一个根结点，有棵左子树还有一棵右子树。n = 3: ()()(), ()(()), (())(), (()()), ((())) 时的括号匹配，me 们换个角度看这个表示：第一个成对的括号是树根，括号内部的子串和括号右边的子串依然是平衡括号串，把内部的看作是左子树，把右边的当作是右子树，好比(())()对应的是有一个左节点和一个右节点的二叉树，()()() 表示只有右子树的二叉树(右子树只有一个右结点)；若是上面的对应成立(递归证实)，那么二叉树的状况就和问题1 是等价问题；

矩阵链乘

问：A = A0 * A1 * A2 * ... * An，Ai 都是矩阵，式子合法，那么问，若是使用括号来改变计算顺序的话，计算方法有多少种？

原本的乘法运算是从左到右运算，me 们将运算使用栈模拟一下：首先将 A0 压入栈底，而后看 A1，和栈顶的 A0 计算结果，栈顶 A0 出栈而结果入栈；看A2，和栈顶元素计算结果，栈顶元素出栈、结果入栈；...若是使用括号改变了顺序，好比A0*(A1*A2)*...看A1的时候，入栈不计算结果，看A2的时候，计算结果，A1出栈结果入栈；...若是这样看来的话，每一种计算顺序，实际上对应一种 A0-A(n-1) 的入栈出栈状况，因而，此问题和问题2等价；

...

有时候上面几个问题的等价不是那么明显，然而上面的几个问题均可以用同一个递推公式来表示：

C0 = 1 ; 
Cn = ∑ Ci · C(n-1-i) ;

举例：
C0 = 1; C1 = 1; C2 = 2; C3 = 5; C4 = 14;
C5 = C0C4 + C1C3 + C2C2 + C3C1 + C4C0 = 14+5+4+5+14 = 42

上面的几个问题都是等价问题，所得的数就是 Catalan 数，能够计算出通项公式(能够使用生成函数法)：

Cn = C(n,2n)/(n+1)
，其中C(m,n)是 n 个不一样的数中取 m 个数造成的组合数;

注：C5 = 42，介貌似是一个灰常有名的数，能够记一下。