概率空间中的柯西不等式
概率空间中的柯西不等式|a||b|>=|a*b|
注：证明方法可能有误，如果您有任何建议请评论
对 于 两 个 随 机 变 量 X ， Y ， 若 E ( X 2 ) , E ( Y 2 ) 存 在 ， 则 [ E ( X Y ) ] 2 ≤ E ( X 2 ) E ( Y 2 ) 对于两个随机变量X，Y，若E(X^2),E(Y^2)存在，\\则[E(XY)]^2\leq E(X^2)E(Y^2) 对于两个随机变量X，Y，若E(X2),E(Y2)存在，则[E(XY)]2≤E(X2)E(Y2)
P ( X = k Y ) = 1 ， 时 取 等 号 P(X=kY)=1，时取等号 P(X=kY)=1，时取等号
证明：
E ( ( t X + Y ) 2 ) ≥ 0 恒 成 立 = E ( ( t 2 X 2 + 2 t X Y + Y 2 ) ) = E ( t 2 X 2 ) + 2 t E ( X Y ) + E ( Y 2 ) = t 2 E ( X 2 ) + 2 t E ( X Y ) + E ( Y 2 ) E((tX+Y)^2)\geq 0恒成立\\=E((t^2X^2+2tXY+Y^2))\\=E(t^2X^2)+2tE(XY)+E(Y^2)\\=t^2E(X^2)+2tE(XY)+E(Y^2) E((tX+Y)2)≥0恒成立=E((t2X2+2tXY+Y2))=E(t2X2)+2tE(XY)+E(Y2)=t2E(X2)+2tE(XY)+E(Y2)
则二次函数的判别式 b 2 − 4 a c ≤ 0 b^2-4ac\leq0 b2−4ac≤0知原式成立
证明;参考
E ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ x f ( x ) d x E(x)= \int_{-\infin }^{+ \infin }xf(x)dx E(x)=∫−∞+∞xf(x)dx
E ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ y f ( y ) d x E(y)= \int_{-\infin }^{+ \infin }yf(y)dx E(y)=∫−∞+∞yf(y)dx
对称性（共轭对称性）：
E ( x y ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ x y f ( x , y ) d x d y E(xy)= \int_{-\infin }^{+ \infin } \int_{-\infin }^{+ \infin }xyf(x,y)dxdy E(xy)=∫−∞+∞∫−∞+∞xyf(x,y)dxdy
x与y相当于格林函数冲击后的无穷维的向量
假设只有整数点的概率不为零，以x*y=6维例
泛函，实际上随机变量X、Y的线性组合构成了一个线性空间，而(X,Y)=E(XY)定义了一个内积，用内积空间的性质就知道了。
∣ a b ∣ = E ( x y ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ x y f ( x , y ) d x d y |ab|=E(xy)= \int_{-\infin }^{+ \infin } \int_{-\infin }^{+ \infin }xyf(x,y)dxdy ∣ab∣=E(xy)=∫−∞+∞∫−∞+∞xyf(x,y)dxdy
∣ a a ∣ = E ( x x ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ x x f ( x , x ) d x d x |aa|=E(xx)= \int_{-\infin }^{+ \infin } \int_{-\infin }^{+ \infin }xxf(x,x)dxdx ∣aa∣=E(xx)=∫−∞+∞∫−∞+∞xxf(x,x)dxdx
∣ b b ∣ = E ( y y ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ y y f ( y , y ) d y d y |bb|=E(yy)= \int_{-\infin }^{+ \infin } \int_{-\infin }^{+ \infin }yyf(y,y)dydy ∣bb∣=E(yy)=∫−∞+∞∫−∞+∞yyf(y,y)dydy
写成积分的，再用积分的许瓦兹不等式