函数可导但是导函数不连续的例子

节选自 汪林《实分析中的反例》 在$[0,1]$上定义函数 $$g(x)=x^{2}\sin \frac{1}{x}, x\neq 0$$ 补充定义$g(0)=0$, 则函数$g(x)$为连续函数，图形如下。 导函数可求得 $$g'(x)=2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x},x \neq 0$$ 并且$g'(0)=0$, 所以$g'(x)$在$x=0$处并不连续

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