3D应用开发中的欧拉角和旋转矩阵

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做者：天瑜

前言

在二维平面内，咱们用(x, y)来表示点的位置，经过向坐标原始值累加偏移值便可将点移动。但在三维空间内除了位置偏移外，还存在着旋转变化，所以空间内的每一个物体都具备至少两个基础特性：位置和方向。位置咱们能够用坐标来表达，那么方向由什么概念来表达呢？

1.欧拉角(Euler Angles)

三维空间中物体的旋转变化，能够映射为坐标系的方向变化。换言之，咱们去旋转一个空间内的物体，能够将其转化为旋转坐标系。所谓一图胜千言，直接看下图：

咱们尽可能用简明意赅的语言来描述图片所传达出来的信息。图中有两个三维坐标系，一个蓝色(xyz)，另外一个是红色(XYZ)。首先，咱们先将蓝色坐标系沿z轴旋转α角度，再将蓝色坐标系沿新的x轴旋转β角度，最后将蓝色坐标系沿新Z轴旋转γ角度，就获得新的红色坐标系(XYZ)。若是将三次变换所围绕轴和角度记录下来，那么本次旋转的欧拉角为(z-x-z)-(α, β, γ)。对三种旋转轴顺序进行排列组合后，咱们总结共有12种旋转顺序组合，也就是十二种欧拉角。

对于某些简单的旋转方式，好比先绕x轴旋转90度，再绕y轴旋转90度，最后绕x轴旋转-90度，获得的结果与直接围绕z轴旋转-90度结果相同。也就是说实现一个三维旋转不必定非要围绕xyz三个轴每一个轴都旋转一次。所以能够对十二种欧拉角作以下分类：

• 经典欧拉角：(z-x-z，x-y-x，y-z-y，z-y-z, x-z-x，y-x-y)
• 泰特-布莱恩角：(x-y-z，y-z-x，z-x-y，x-z-y，z-y-x，y-x-z)

旋转轴顺序形如ABA的经典欧拉角适用于相对简单的旋转场景，而须要三个旋转轴的泰布莱恩角更多应用于复杂的旋转场景，好比航空航天领域。

2.旋转矩阵(Rotation Matrix)

线性代数中的矩阵不一样于咱们熟悉的形如y = ax + b的数学关系式，很容易被"古怪"的概念和各类"方框"搞的晕头转向。正由于矩阵不一样于传统具体的数学关系式，在学习和理解矩阵须要转换思考方式。好比，咱们能够用具体公式来描述曲线，像贝塞尔曲线、三角函数曲线，但他们都是基于二维平面的，如何用数学来描述线性三维空间内的变换呢？矩阵所以应运而生。

回到本文主题，旋转顺序和角度咱们能够用欧拉角来表示，那么如何将其实际应用呢？答案是用旋转矩阵来表示旋转角。之前文坐标系转换为例，抽象出矩阵关系式：

依据矩阵除法求得M的值，便可获得旋转矩阵。在实际推导三维旋转矩阵以前，咱们首先推导二维旋转矩阵，有助于咱们更好的理解三维旋转矩阵：

原始向量op围绕o点旋转φ角度，原坐标(x, y)变为(x', y')，由图中标注可得：

由三角函数关系式可得：

依据矩阵乘法法则，以上关系式用矩阵表示为：

三维变换就是比二维变换多了一个z轴罢了，当空间内的物体围绕x轴旋转时，咱们能够理解为在yz平面进行二维变换。实际推导过程与上式相似，只是x坐标保持不变：

得出围绕x轴的旋转矩阵为：

同理，当空间内的物体围绕y轴和z轴旋转时，记围绕x、y、z三轴的旋转角分别为θ、β、γ（即欧拉角），矩阵分别为P、M、Q，有：

3.万向节死锁(Gimbal lock)

使用欧拉角来描述三维方向变化并非完美的，很经典的例子就是炮台问题：

假设地面上有一个炮台，它能够与地面平行的360度环绕，围绕轴记为x轴，与地面垂直，也能够俯仰（仰视90度或俯视-90度），俯仰旋转时所围绕的轴记为y轴，与地面平行。正北地平线方向记作x=0, y=0。此时一个飞行器从正东x=90 y=10方向向炮台飞来，炮口跟踪瞄准了该飞行器。当飞行器飞到炮台头顶时，飞行器的坐标（同时也是炮口的指向）也从x=90 y=10逐渐递增到了x=90 y=90。忽然飞行器向南飞行，但此时炮口垂直地面，不管如何旋转x轴炮口始终指向天顶。从数据的角度说，从正东的x=90到x=180发生了不连续突变，然而飞行器的位置倒是连续的。

究其根本缘由，欧拉角的理论基础是分别计算围绕x、y、z三轴旋转角度后合并而成的，多种旋转方式的结果会对应同一个三维空间角度，致使在插值场景中使用欧拉角会出现不连续的死锁问题（如上文的大炮跟踪）。死锁问题与解决在3D空间轨迹跟踪等领域有普遍的应用，更多例子有兴趣的读者能够自行google。

如何解决死锁问题呢？答案是四元数。核心理念就是摆脱对围绕x、y、z旋转计算的依赖，空间内的旋转基于围绕任意轴计算，好比围绕(0, 4, 7)轴。不过四元数就是另外一个复杂的话题了。

4.前端应用

在前端应用层，并不是只有旋转这一种场景，除了旋转，还有平移、缩放等等。在上文中咱们使用三阶矩阵来表达变换，但在更复杂的变换场景中一般使用四阶矩阵来作计算，例如设平移距离分别为Tx、Ty、Tz，那么获得平移四阶矩阵：

三阶矩阵的运算已经很繁琐，四阶更让人头皮发麻。万幸的是矩阵计算早已工程化了，没必要手工操做底层矩阵运算。以表明性的 three.js 为例，它有不少封装成熟的 api 可供使用，大大下降了开发前端3D应用的成本。还有函数库glmatrix，开发者只关心输入输出便可。

了解欧拉角和矩阵变换随便只是开发3D应用的第一步，更宽广的世界依然须要咱们不懈探索。