动态规划——递归写法和递推写法

1、什么是动态规划

　　动态规划（DP）是一种用来解决一类最优化问题的算法思想。简单来讲，动态规划将一个复杂的问题分解成若干个子问题，经过综合子问题的最优解来获得原问题的最优解。

 

 

2、动态规划的递归写法

　　以斐波那契（Fibonacci) 数列为例，斐波那契数列的定义为 F0=1,F₁=1,F_n=F_n-1+F_n-2 (n≥2)。为了避免重复计算，能够开一个一维数组 dp，用以保存已经计算过的结果。代码以下：

 1 int dp[maxn];  2 // 斐波那契数列递归写法
 3 int F(int n) {  4     if(n == 0 || n==1)    return 1;    // 递归边界
 5     if(dp[n] != -1)    return dp[n];    // 已经计算过 
 6     else {  7         dp[n] = F(n-1) + F(n-2);    // 计算F(n)，并保存 
 8         return dp[n];                // 返回 F(n) 结果 
 9  } 10 }

 

 

 

3、 动态规划的递归写法

　　以经典的数塔问题为例，以下图所示，将一些数字排成数塔的形状，其中第一层有一个数字，第二层有两个数字……第 n 层有 n 个数字。如今要从第一层走到第 n 层，每次只能走向下一层链接的两个数字中的一个，问：最后将路径上全部数字相加后获得的和最大是多少？

　　

　　不妨令 dp[i][j] 表示从第 i 行第 j 个数字出发到达最底层的全部路径中能获得的最大和，在定义了这个数组后，dp[1][1] 就是最终想要的答案。

　　若是想求出 dp[i][j]，那么必定要先求出它的两个子问题“从位置 (i+1,j) 到达最底层的最大和 dp[i+1][j]”和“从位置 (i+1,j+1) 到达最底层的最大和 dp[i+1][j+1]”，即进行了一次决策：走左下仍是右下。写成式子就是：

　　　　　　　　　　　　　　dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) + f[i][j]

　　其中 f[i][j] 存放第 i 层的第 j 个数字。代码以下：

 1 /*
 2  动态规划的递推写法  3 */
 4 
 5 #include <stdio.h>
 6 #include <string.h>
 7 #include <math.h>
 8 #include <stdlib.h>
 9 #include <time.h>
10 #include <stdbool.h>
11 
12 #define maxn 1000
13 int f[maxn][maxn], dp[maxn][maxn]; 14 
15 // 较大值 
16 int max(int a, int b) { 17     return a>b ? a : b; 18 } 19 
20 int main() { 21     int n; 22     scanf("%d", &n); 23     int i, j; 24     for(i=1; i<=n; ++i) { 25         for(j=1; j<=i; ++j) { 26             scanf("%d", &f[i][j]);        // 输入数塔 
27  } 28  } 29     // 边界
30     for(j=1; j<=n; ++j) { 31         dp[n][j] = f[n][j]; 32  } 33     // 从第 n-1 层往上计算 dp[i][j]
34     for(i=n-1; i>=1; --i) { 35         for(j=1; j<=i; ++j) { 36             dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) + f[i][j]; 37  } 38  } 39     printf("%d\n", dp[1][1]);            // dp[1][1] 即为须要的答案 
40 
41     return 0; 42 }

 　　

 

　　下面指出两对概念的区别：

　　1.  分治与动态规划。分治和动态规划都是将问题分解为子问题，而后合并子问题的解获得原问题的解。可是不一样的是，分治法分解出的子问题是不重叠的，所以分治法解决的问题不拥有重叠子问题，而动态规划解决的问题拥有重叠子问题。另外，分治法解决的问题不必定是最优化问题，而动态规划解决的问题必定是最优化问题。

　　2.  贪心与动态规划。贪心和动态规划都要求原问题必须拥有最优子结构。两者的区别在于，贪心法经过一种策略直接选择一个子问题去求解，没被选择的子问题就不去求解了，直接抛弃。也就是说，它老是只在上一步选择的基础上继续选择，所以整个过程以一种单链的流水方式进行。而动态规划老是从边界开始向上获得目标问题的解。也就是说，它老是会考虑全部子问题，并选择继承能获得最优结果的那个，对暂时没被继承的子问题，因为重叠子问题的存在，后期可能会再次考虑它们，所以还有机会成为全局最优的一部分，不须要放弃。