再论递归和动态规划

在上篇文章「初探动态规划」里面，我提到要写好动态规划须要先写好递归，今天就再谈谈怎么写好递归。

为何要写好递归？写递归符合动态规划的原理，同时也容易被人理解。那么该怎么写好这个递归呢？大量的实战练习，直接上例题。

53. 最大子序和
    给定一个整数数组 nums ，找到一个具备最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

题目分析

题干给的是一个整数数组，那么就有正有负，这点很关键，若是没有负数，这道题就根本不用想，直接数组求和。

直接思路就是遍历搜索，用一个变量存储最大值，须要两个索引，一个指向子数组的开头，一个指向子数组的结尾，算出子数组的值和最大值比较而且决定是否更新。

第一波思路就这么简单粗暴，随后再优化。

public static int maxSubArray(int[] nums) {
    return solve(0, 0, nums);
}
public static int solve(int start, int end, int[] nums) {
    if (start > end) {
        // 这里是为了方便表示，实际不能这样写，若是返回加了一个负数，会直接越界变成一个超级大的正数
        return Integer.MIN_VALUE;
    }
    if (start > nums.length - 1) {
        return Integer.MIN_VALUE;
    }
    if (end > nums.length - 1) {
        return Integer.MIN_VALUE;
    }
    int total = 0;
    // 计算子数组和
    for (int i = start; i <= end; i++) {
        total += nums[i];
    }
    //end 朝后移动一位
    int b = solve(start, end + 1, nums);
    //start 朝后移动一位
    int a = solve(start + 1, end, nums);
    // 取三者最大值返回
    total = Math.max(total, a);
    total = Math.max(total, b);
    return total;
}
复制代码

虽然这个时间复杂度不敢恭维，但思路简单明了易于理解，这种算法是确定不行得，在 LeetCode 上面会超时。

即便加一个 dp[start][end] 的辅助空间用记忆搜索也仍是会超时，由于在 LeetCode 会给你一个超级大的数组求和，数组大到我 QQ 消息一次都发不完的那种。然而正向递推（for）初始条件那块，一直没有弄好，因此不能靠这种方式经过。

这个时候应该想一想递归还能不能优化，这种方式的递归太简单粗暴了，能不能换一种柔和一点的递归，好比一个索引的递归？回归问题自己，子数组最大的和这个问题。

刚才两个索引的方案已经被放弃了，那么一个索引应该怎么存储呢？划重点：若是当前值比以前累加的值大，那么以前的累加值能够直接放弃，从新开始累加。好好体会这句话，这句话就能够把索引从两个变成一个。

public static int max = 0;
public static int maxSubArray(int[] nums) {
    max = nums[nums.length - 1];
    solve(nums.length - 1, nums[nums.length - 1], nums);
    return max;
}
public static int solve(int index, int total, int[] nums) {
    if (index < 0) {
        return -100000;
    }
    // 比较当前值和以前的积累
    total = Math.max(nums[index] + solve(index - 1, total, nums), nums[index]);
    // 始终存储最大的那个值
    max = Math.max(max, total);
    return total;
}
复制代码

这个版本的递归确定仍是过不了测试，但这样子的记忆搜索已经能够过全部测试用例了。

回顾整个过程，一样一道题，不一样的思考方式带来的不一样递归方式，虽然都能算出答案，但这个过程明显不同，而这就是动态规划须要学习的地方，优化，优化，再优化。

这两篇自我感受写得很没有水准，我的缘由占大部分，我对动态规划远远没有到驾轻就熟的地步，思惟出现了断层，不成体系。