趣味编程：三门问题

三门问题，也称为蒙提霍尔问题（Monty Hall Problem）。

你在参加一个节目，面前是三扇关闭着的门。其中一扇后面是小汽车，选中它就可赢得汽车，另外两扇后面各是一只羊。你选择了其中一扇，但没有打开它，这时主持人打开了剩下两扇门中的一扇，后面是一只山羊（这里有个隐含前提：主持人是知道门后的状况的）。主持人问你，要不要换另外一扇仍然关闭着的门，仍是就要你刚才选中的那扇。

那么问题就是，换另外一扇门会增长你赢得汽车的几率么？换与不换的几率各是多少呢？

由于只剩下了两扇门，其中有一车和一羊，所以答案是换不换几率都是1/2，对么？

也有人坚信不换的几率是1/3，那么换的几率就应该是2/3？不管哪一种回答，必定都会有本身的解释和逻辑。

 

什么是几率？无非就是某种事件发生的可能性。

如何验证几率？只有用大量的实验来统计各类事件发生的分布状况。

放到现实中，想看到这个问题的答案，只能由主持人和观众不断的重复进行游戏。

看看好比说各自100次游戏，不换门会选中多少次，换门又会选中多少次。

 

这就体现出了代码的优点，无需舞台无需观众无需主持人，也无需一遍又一遍的重复。

让咱们直接抛开语义和逻辑上的争论，让事实来讲话。

 

彻底忠实于游戏的规则来实现：

 1 import random
 2 import logging
 3 
 4 class MontyHall(object):
 5     def __init__(self, num=3):
 6         '''
 7         建立一个door列表
 8         0表示门关闭的状态
 9         1表示该门后有车
10         -1表示该门被主持人打开
11         '''
12         self.doors = [0] * num
13         self.doors[0] = 1
14         self.choice = -1
15         self.shuffle()
16 
17     def shuffle(self):
18         '''
19         开始新的游戏
20         关闭全部打开的门（-1）
21         从新安排轿车的位置
22         '''
23         for i in range(len(self.doors)):
24             if self.doors[i] == -1:
25                 self.doors[i] = 0
26         random.shuffle(self.doors)
27 
28     def makeChoice(self):
29         '''
30         player随机选择一扇门
31         '''
32         self.choice = random.randint(0, len(self.doors)-1)
33         logging.info('choice: %d' % self.choice)
34         logging.info('original: %s' % self.doors)
35 
36     def excludeChoice(self):
37         '''
38         主持人排除选择
39         直到只剩两扇门
40         '''
41         toBeExcluded = []
42         for i in range(len(self.doors)):
43             if self.doors[i] == 0 and i != self.choice:
44                 toBeExcluded.append(i)
45 
46         random.shuffle(toBeExcluded)
47         for i in range(len(self.doors)-2):
48             self.doors[toBeExcluded[i]] = -1
49         logging.info('final: %s' % self.doors)
50 
51     def changeChoice(self):
52         '''
53         player改变选择
54         '''
55         toChange = []
56         for i in range(len(self.doors)):
57             if i != self.choice and self.doors[i] != -1:
58                 toChange.append(i)
59         self.choice = random.choice(toChange)                
60         logging.info('choice changed: %d' % self.choice)
61 
62     def showAnswer(self):
63         logging.info(self.doors)
64 
65     def checkResult(self):
66         gotIt = False
67         if self.doors[self.choice] == 1:
68             gotIt = True
69         return gotIt

 

不改变选择：

 1 def test(n):
 2     result = {}
 3     game = MontyHall()
 4 
 5     for i in range(n):
 6         game.shuffle()
 7         game.makeChoice()
 8         game.excludeChoice()
 9 
10         if game.checkResult():
11             result['yes'] = result.get('yes', 0) + 1
12         else:
13             result['no'] = result.get('no', 0) + 1
14 
15     for key in result:
16         print('%s: %d' % (key, result[key]))
17     
18 
19 
20 if __name__ == '__main__':
21     logging.basicConfig(format='%(levelname)s:%(message)s', level=logging.WARNING)
22     test(10000)

View Code

yes: 3304
no: 6696

 

改变选择：

 1 def test(n):
 2     result = {}
 3     game = MontyHall(3)
 4 
 5     for i in range(n):
 6         game.shuffle()
 7         game.makeChoice()
 8         game.excludeChoice()
 9         # 改变选择
10         game.changeChoice()
11 
12         if game.checkResult():
13             result['yes'] = result.get('yes', 0) + 1
14         else:
15             result['no'] = result.get('no', 0) + 1
16 
17     for key in result:
18         print('%s: %d' % (key, result[key]))
19     
20 
21 
22 if __name__ == '__main__':
23     logging.basicConfig(format='%(levelname)s:%(message)s', level=logging.WARNING)
24     test(10000)

View Code

yes: 6691
no: 3309

 

可见，若是不改变，选中的几率是1/3。若是改变，选中几率为2/3。因此说，最佳策略是换门。

 

从逻辑上如何解释呢？

若是你每次都换，只有当你第一次选的那扇门后是汽车时，你才会输。

由于第一次选中汽车的几率是1/3，因此换门后输的几率是1/3。

也就是说，若是你每次都换，赢的几率就有2/3。

 

还不信么？

那咱们换成50扇门再作这个游戏。你选一扇门，我把其余是羊的48扇门打开给你，最后依然剩下两扇门，你还会以为换和不换的几率同样是1/2么？

依然以为在50扇门中任选一个，最后中将的几率是1/2？

 

 

原理是同样的，只有你第一次就选中汽车时（1/50几率），换门才会失去大奖。其余的状况，换门都会让你赢得大奖，几率为49/50。

再次用代码来验证：

 1 def test(n):
 2     result = {}
 3     game = MontyHall(50)
 4 
 5     for i in range(n):
 6         game.shuffle()
 7         game.makeChoice()
 8         game.excludeChoice()
 9         game.changeChoice()
10 
11         if game.checkResult():
12             result['yes'] = result.get('yes', 0) + 1
13         else:
14             result['no'] = result.get('no', 0) + 1
15 
16     for key in result:
17         print('%s: %d' % (key, result[key]))
18     
19 
20 
21 if __name__ == '__main__':
22     logging.basicConfig(format='%(levelname)s:%(message)s', level=logging.WARNING)
23     test(10000)

View Code

yes: 9794
no: 206

 

依然不相信？

逻辑分析和事实数据都不能让你相信？仍是认为最后的几率都是1/2？

那我只好遗憾的表示，三门问题的答案是肯定的，不存在任何争议。

本身去科普一下吧，不要困在本身的局限的认知里。

 

附上一个科普节目，让大名鼎鼎的流言终结者（S09E21）来扫盲吧。

 

若是逻辑分析+实验事实+科普节目都没法让你放弃1/2的结论，那我真无能为力了：）