Manacher's Algorithm (马拉车算法)

用来查找一个字符串中最长回文子串的方法

平时的暴力为 \(n^3\) ,而\(Manacher\)将时间复杂度提高到了线性，牛

\(n^3\) 实在太……，想到优化

枚举每个字符，并以它为中心，向两边寻找回文串，当遍历完整个数组的后，就能够找到最长的回文串，时间复杂度 \(O（n^2）\)

\(Manacher\) 只需 \(O（n）\)

回文串的长度可奇可偶，aba(奇),abba（偶）

预处理（在每个字符左右都加'#'）那么不管奇偶，字符的个数都成了奇数，避免了分类讨论

$aba -->  #a#b#a#$
$abba --> #a#b#b#a#$

类比 \(KMP\) 算法，咱们处理一个P数组，\(P[i]\)表示以\(a[i]\)字符为中心的回文子串的半径(若\(P[i] = 1\)，则该回文串就是 \(a[i]\) 自己)

关于半径

很明显咱们求出最长的半径就知道最长回文串字符的个数，为啥？？

举个栗子：

A:# 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 2 #
p:1 2 1 2 5 2 1 6 1 2 3 2 1

显然以中间'1'为中心的回文串半径最大为6；原串为22122,长度为5，正好为半径减一
奇数的举例也是如此，因此该办法可靠

关于起始位置

咱们若是知道半径长度，但彷佛没法定位子串，因此咱们还要知道它的起始位置

solution:咱们再在原串起始位置加一个$，因此起始位置就是中间位置减去半径再除以2

关于为何加$,(避免与原串字符重复，进而没必要改变P数组值)

举栗验证（实在不会啥证实方法，望大佬能够提供别的方法）

$#b#o#b# 中'o'的位置是 4 ，半径是 4，相减为 0,再除 2，依然是 0；

$#1#2#2#1#2#2# 中间'1'的位置为 8，半径是 6，相减为 2，再除 2 是 1 因此原串中最长子串'22122'起始位置为 1；

关于 \(P\) 数组的求法

有关变量：\(mx\):回文串能延伸到的最右端的位置；\(id\):为能延伸到最右端的位置的那个回文子串的中心点位置

核心代码：

p[i] = mx > i ? min(p[2 * id - i], mx - i) : 1;

====================================================================================
对称点：

\(2 * id - i\)是 \(j\) 关于中点 \(id\) 的对称点
（\((i + j) / 2 = id\) 方程两边同时乘以二, 得：\(i + j = 2 * id\) 移项， 得：\(j = 2 * id - i\)）

=========================================================================================

1.当 \(mx - i > P[j]\) 的时候，以\(A[j]\)为中心的回文串必然包含在以\(A[id]\)为中心的回文子串中，因此必有P[i] = P[j], 见图

2.当 \(A[j] >= mx - i\) 的时候，以\(A[j]\)为中心的回文子串不必定在
\(A[id]\) 为中心的回文子串中，但根据对称，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以 \(A[i]\) 为中心的回文子串，其向右至少会扩张到\(mx\)的位置，也就是说 \(A[i] >= mx - i\) 至于 \(mx\) 以后的部分是否对称，就只能老老实实去匹配了

3.对于 \(mx <= i\) 的状况，没法对 \(A[i]\) 作更多的假设，只能\(A[i] = 1\)，而后再去匹配了

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int M = 51000100;
char a[M],s[M << 1]; 
int n,p[M << 1],ans = 1;
//===============================
void pre_(){
    s[0] = s[1] = '#';
	for(int i = 1;i <= n; i++){
		s[i * 2] = a[i];
		s[i * 2 + 1] = '#';
	}	
  n = n * 2 + 1;
}
//===============================
void Mana_(){
	int mx = 0,id;
	for(int i = 1;i < n; i++){
		if(i < mx)//在范围内manacher精髓 
		p[i] = min(p[(id << 1) - i],p[id] + id - i);//前两种状况 
		else 
		p[i] = 1;
	   while(s[i + p[i]] == s[i - p[i]])p[i]++;//继续扩展p[i]长度 
	   if(i + p[i] > mx){
	   	  mx = i + p[i];//更新mx,id值
		  id = i;
	   }
    }
}
int main(){
	scanf("%s", a + 1);
	n = strlen(a + 1);
	pre_();
    Mana_();
	for(int i = 0;i <= n * 2 + 1; i++)
	        ans = max(ans, p[i]);
    printf("%d", ans - 1);
}