manacher(马拉车算法)

Manacher(马拉车算法)

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序言

mannacher 是一种在 O(n)时间内求出最长回文串的算法

咱们用暴力求解最长回文串长度的时间复杂度为O(n³)

很明显，这个时间复杂度咱们接受不了，这时候，manacher也就是俗称的马拉车算法就出世了

算法描述

先考虑一种在O(n²)的时间复杂度内求解的算法

咱们能够从左到右枚举字符串的每个字符，以当前字符为起点，向左，和向右同时延伸来求解

回文长度，但咱们深刻分析一下，发现，这个算法明显是有漏洞的，它只能解决字符串长度为

为奇数的回文长度，偶数的字符串没法由它求出回文长度。

好比aba用该算法求出的值为3是正确的,但abba用该算法求出的值倒是1，很明显，是错误的，那么咱们考虑，

如何去优化该算法，使得奇数和偶数都能解决，咱们考虑在字符串的首尾和字符

串间隔中插入一个特殊字符如 #,例如abba,插入后就变为了#a#b#b#a#字符串的长

度由n变为了2n+1这样就能够保证字符串的长度为奇数了，证实很简单，2n定为偶数

则2n+1必定为奇数而后即可以经过上述算法求出目前的回文长度了。

但，n² 的算法仍然没法知足咱们的需求，咱们考虑继续优化，那么如何优化呢？

咱们须要引入几个定义

下述定义用未插入特殊字符的字符串进行解释

1：回文中心，即一回文串的中心字符好比abcba这个回文串，从左向右数的第3个字符即c

便为其回文中心咱们由于咱们对字符串进行了处理，因此便保证了每一串都有其回文中心

2，回文半径，即回文串的最右边界到回文中心的字符个数（包含回文中心）

咱们能够发现，每一个串的回文半径的长度*2-1即是所求回文串的长度

因此，咱们只要求出那个最大的回文半径即可获得最长回文串长度

那么，咱们如何求解呢？

manacher算法的本质即是对上面所提的n²的优化

咱们看下图，假设咱们目前枚举到i，定义r为到目前为止的回文串的最右边界，即目前为止的所

有回文串中，最右的字符下标最大的那个下标；mid则为 r 所在回文串的回文中心

咱们对i进行讨论

当i<r时由于i位于以mid为回文中心的回文串中，因此以i为回文中心的字符串有可能被以mid

为回文中心的字符串包含，假设被包含，咱们利用回文串的对称性可知，以i关于mid的对称点也就是j点

为回文中心的字符半径等于以i为半径的回文半径

咱们直接赋值便可

定义p数组为回文半径长度

那么咱们如何判断呢？当r-i的长度要大于p [j] 时，p[j]必定没有超过mid的范围，那么，咱们直接对称过去更新p[i]便可

反之，当r-i>r-i 代表p[j]有可能包含mid范围以外的数，咱们没法将p[j]赋给p[i]便在范围内将r-i赋给p[i];

本质融合成一句代码即是

p[i]=p[mid*2-i]>mir-i?mir-i:p[mid*2-i];

咱们求j的下标利用中点坐标公式求解便可

贴一发代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn =2e7+10;
char s[maxn];
char ns[maxn];
int p[maxn];
int getle(){
	int len=strlen(s);
	int j=2;
	ns[0]='~';//设置枚举边界，字符串右侧带有换行，因此咱们右侧没必要放字符了
	ns[1]='$';
	for(int i=0;i<len;i++){
		ns[j++]=s[i];
		ns[j++]='$';
	}
	return j;
}
int manacher(){
	int len=getle();
	int mid=1;
	int mir=1;
	int ans=-1;
	for(int i=1;i<len;i++){
		if(mir>=i){
			p[i]=p[mid*2-i]>mir-i?mir-i:p[mid*2-i];
		}
		else{
			p[i]=1;
		}
		while(ns[i+p[i]]==ns[i-p[i]]){
			p[i]++;
		}
		if(p[i]+i>mir){
			mid=i;
			mir=p[i]+i;
		}
		ans=max(p[i]-1,ans);
	}
	return ans;
}
int main(){
	cin>>s;
	cout<<manacher();
	return 0;
}

完结撒花