极化码之tal-vardy算法（2）

 

　　上一节咱们了解了tal-vardy算法的大体原理，对所要研究的二元输入无记忆对称信道进行了介绍，并着重介绍了可以避免输出爆炸灾难的合并操做，这一节咱们来关注信道弱化与强化操做。

 

　　【1】《Channel polarization: A method for constructing capacity-achieving codes for symmetric binary-input memoryless channels》Erdal Arıkan

　　【2】《How to Construct Polar Codes》Ido Tal,  Alexander Vardy

 

Part1.信道弱化与信道强化

 

　　信道弱化：

　　　　咱们给出一个信道。对于信道，若是存在一个中间信道使得对于全部的都有：

　　　　那么咱们记：，指代信道Q相对于信道W是弱化的。

　　　　很容易证实下面这些性质：

　　　　1） 这种“弱化”是具备传递性的，相似a≤b，b≤c，则a≤c。

　　　　2） 咱们定义“弱化”操做中的恒等性质，相似a≤b，b≤a，则a≡b。

　　　　3） 这种恒等性质具备对称性，相似a≡b，则b≡a。

　　对于信道的强化操做，这里就再也不解释了。实际上，只须要把上式中的信道W和信道Q调换一下位置，就可以的获得信道强化的操做，以及相似的公式和下面的性质。

　　经过弱化操做后获得的弱化信道Q，咱们重点关注它的三个参数。不过，在那以前咱们先来看一下原始信道W的参数状况。

　　对于一个二元无记忆对称信道W：

　　<1> 信道错误几率Pe：

　　　　咱们假设Pe(W)为最大似然判决下的错误几率，若是输入服从等几率分布（即传输0和1的几率都为1/2），那么咱们能够获得：

　　<2> 巴氏参数Z(W)：

　　<3> 信道容量I(W)：

　　由W获得的弱化信道的参数变化状况以下：

　　论文中并无直接给出后两个结论的导出，第二个结论在论文的参考文献中已经被严格证实，第三个结论在第二个结论的基础上能够被证实。这两个证实超出了个人能力范围，须要证实的能够从论文参考文献给出的引用目录里面去找。咱们重点来关注第一个公式，以及它的证实。

　　如上为证实过程，由第一步到第二步很好理解，直接把定义公式代入就行。从第二步到第三步须要稍稍解释一下。

　　咱们能够先忽略掉最外层的1/2倍乘和对z的求和，对比后面的内容。

• 第二步的运算逻辑顺序为，先求和、再挑选最小值；
• 第三步的运算逻辑顺序为，先挑选最小值、再求和。

　　这两种操做形成差别的缘由就在于运算的逻辑顺序问题。

　　第二步的式子中，咱们把W(y|0)和W(y|1)看作两个总体，忽略总体中每个加数的细节，关注总体的大小，再取两个总体的最小值。

　　第三步的式子中，咱们将W(y|0)和W(y|1)拆开来看，咱们逐项拿出数对进行对比，只留下较小的那一项，这样最后相加的加数项的每一项，都是它所对应的那一对数中的较小者，这样的一组加数相加获得的和必定是小于等于第二步的。

　　固然，这只是一种定性的分析，咱们也能够用数学语言去描述它，让它在形式上更加严谨。

　　

　　弱化操做

　　在介绍信道弱化操做前，让咱们先来回顾一下Arikan递推公式。tal-vardy算法每一步只操做两个信道，所以咱们关注Arikan对单步信道转化的描述。

　　【1】-I-E中明确指出，两个独立的二元输入信道副本W:X→Y可以经过单步信道转化，变成一对二元输入信道：和。其中输出字符集的映射关系为：。信道转移几率之间的关系为：

 　　【2】中对这两种信道操做进行了从新定义。【2】提出了两种符号分别用来表征这两种信道转化操做。第一种操做记为：，第二种操做记为：。所以，咱们获得：

　　从【1】中的介绍，咱们发现，原始信道副本的输入字符集为{0,1}，长度为2；假设输出字符集长度为 “2L”，则经过第一种信道操做获得的信道 W' 的输出字符集长度为“2L×2L”，经过第二种信道操做获得的信道 W'' 的输出字符集长度为 “(2L)²×2”。这个结论很重要，与接下来的信道操做有关。

　　这个现象很好说明，两个W信道副本都只有两个输出字符，分别为y一、y2和它们的共轭，2L=2。假设咱们简记y→0，→1。则第一种信道操做的输出字符集有2L×2L=4，四种可能——{00,01,10,11}；第二种信道有2×(2L)²=8，八种可能——{000,001,010,011,100,101,110,111}。能够看到，随着单步信道转化的进行，信道的输出字符集长度将随着转化次数的增长爆炸增加。在码长较大时，这将使得极化码的构造计算复杂度变得不可控制，咱们以前介绍的合并函数就是为了解决这个问题而存在的。

　　【2】中的引理5是信道弱化操做的核心理论。

Lemma5　　

　　给定一个二元输入的信道 W:X→Y ，设：

　　假设Q是W的弱化信道：，并记：

　　则，咱们能够获得：

　　　　　　　　　　　　　　　　　  且 

　　这个引理对于强化操做，同样成立，只须要将上述的Q和W互相调换位置。

　　引理5的证实位于【2】Page6。

　　引理5告诉咱们，一个弱化信道，即便对它进行信道转化操做后，它依然是一个弱化信道。

　　【2】中对信道弱化操做部分作了与合并函数一样的描述方式，将信道弱化操做视为一个函数。函数的输入为原始BMS信道W，以及指定输出字符集长度μ；函数输出为一个弱化BMS信道Q，Q的输出字符集最大不超过μ。

 

　　信道极化操做

　　在信道极化过程当中，对于信道转化方法的选择问题（即在每个节点判断进行信道操做1，仍是信道操做2），能够视为一个二进制树的生成。在【1】中Arikan为咱们展现了这样一张图：

　　咱们暂且称其为“码树”。

　　码树的根为原始的信道副本，在每一级code_level上都会产生两个分支，上分支使用第一个信道转化公式，下分支使用第二个信道转化公式。咱们以上图为例，N=2^n=8，n=3。n即code_level，表示树的深度；N即code_length，表示树的广度。借助二进制数，咱们能够很容易的找到从树根到树梢的路径。例如，当 i 取5时，咱们将 i-1 转化为位数为 n=3 的二进制数：(5-1)₁₀→(100)_2。对应到码树中，从树根开始，三级分支分别取下、上、上分支，使用相应的信道操做，就可以获得这一极化信道。

　　所以，在信道操做中，咱们能够将信道指数（channel index）转化为二进制数，经过逐位读取并进行判断，使用相应的信道操做，就可以实现信道极化。【2】中给出了一个很是清晰的算法思路：

　　算法复杂度

　　在上面的算法中，咱们假设每次执行合并函数的时间为，遵循上述算法A中的符号使用规则，对于n个信道来讲，因为每一个信道指数有m位，所以总共调用合并函数的次数为n·m次，用时。可是，因为许多中间信道的计算是在作重复性的工做，所以，实际计算不一样信道的次数为（2n-1-1）次，所以总的时间复杂度应该为，也即。

　　

　　实际上，咱们可以利用对称信道的特色，进一步下降计算复杂度。

　　还记得咱们在上一节强调过的Arikan给出的定理13吗？

　　因为咱们的信道操做是单步进行的，每一次只进行两个信道的合并，在上图的（58）式中，取N=2，i=1，咱们能够获得第一种信道操做的对应公式：　　其中，G2=[1 0; 1 1]。不失通常性的，咱们假设发送的比特为0，即u1=0，而且，咱们令等式右端的发送端等于1（即令a1=1），能够获得：

　　【咱们为何要这么作？】

　　【回忆一下对称信道的定义之中，有这样一条：】　　【显然，咱们这样作的目的是为了获得字符对（y1，y2）的共轭对。】

　　当a2分别取0、1时，有：

　　也即，有两个共轭对，一个是，另外一个是。对上式进一步的转化，咱们能够发现，容易获得：

　　以及：

　　通俗来讲，上面这一番计算的意义在于，在信道转化操做以后，咱们没有必要计算输出字符集中每个字符的转移几率。实际上，咱们只须要对一半字符进行计算。

　　相似的，咱们能够对第二种信道操做进行相似的计算，令i=2，则输出字符集共有3个字符，能够组成8中不一样的组合，最后实际上只须要计算4种组合。

 

　　本节的内容就是这样，下一节咱们将讨论如何对BAWGN信道使用tal-vardy算法。