极化码小结（2）

Chapter2 极化码的编码

　　极化码的编码问题主要包括两个方面。

　　首先是生成矩阵的构造：

生成矩阵G_N：

　　先来看信道合并示意图，下图截自Arikan论文（之后再也不解释，Arikan论文 特指论文《Channel polarization: A method for constructing capacity-achieving codes for symmetric binary-input memoryless channels》）：

　　请读者留意这是fig.3，也即图三。根据这张图所表现的形式，咱们能够概括出G_N的表达式：

疑问：这个表达式如何获得？它与上图有什么对应关系？

　　咱们来看等式右端第一部分：

　　观察R_N前面的表达式，符号“”是一种矩阵运算，称为“克罗内克积”，详细内容读者可自行查阅维基百科词条：克罗内克积-维基百科；“F”定义为矩阵，F的定义又有何意义呢？咱们用一个二维向量来测试一下：，可见用输入向量左乘F矩阵，就可以实现图中第一步线性变换。当N>2时，因为F只有二维，为了完成运算，咱们经过克罗内克积的办法在保持F矩阵属性的同时扩展它的维度，使得它知足咱们的运算要求。因此R_N前面的运算能够与上图中的线性变换对应起来。

　　R_N对应图中的自身，这个不须要再说。

　　观察R_N的右端，I₂为二维的单位矩阵，G_N/2则体现了递推、迭代的思想。用I₂与G_N进行克罗内克积，就是为了实现生成矩阵的递推和迭代。这部分对应了图中最右端的操做。所以咱们能够看到，Arikan给出的生成矩阵的定义式确实与上图是彻底对应的。

　　接下来，Arikan又po出了另外一张图：

　　这是fig.8，它与fig.3的不一样之处在于，fig.3中先进行线性变换再进行置换操做，而fig.8中先进行置换操做再进行线性变换。根绝Arikan的说法，这两个图是全等的。fig.8对应的公式为：，也就是说这两个公式是等价的：

　　那么这一步是如何获得的呢？如何证实这两个图是全等的呢？这里有一份我之前证实时留下的手稿，具体的过程我没有精力再排版打出来，看客若是对这个证实有兴趣，不妨做为参考。不过这些细节就算不了解，也不妨碍咱们对极化码理论的学习。就像数学教科书的上的许多定理公式，更多时候重点在于如何去理解和应用。

　　让咱们回到Arikan的论文中，继续看他是如何一步一步获得G_N的构造方法的。

　　上面这个公式第一行咱们已经证实过了，从第一行到第二行的理论支持来自于克罗内克积的混合乘积性质：

　　图片来自克罗内克积-维基百科

　　咱们继续往下看：

　　这个就很好理解了，直接迭代代入G_N/2而后利用混合乘积性质的逆定理就能够获得了。重复上述操做，不断进行迭代，最后咱们能够获得这样一个式子：

　　其中B_N用来代替迭代所产生的式子：。B_N能够写成递推公式：

　　获得上面的公式以后，咱们很容易就能够计算出B_N并求出G_N

　　再来看信息位的选取：

信息位选取：

　　经过上一节的介绍，咱们了解到了信道的极化现象，而且认识到正是信道极化现象催生了极化码。如今，咱们就要利用这个现象来构造极化码。根据咱们所设想的，经过在偏差率较低的信道（无噪信道）上传输有用信息，在偏差较高的信道（纯噪信道）上传输信息量为0的信息，咱们能够实如今有噪信道下进行无噪传输。

　　所以，如何挑选要传输信息的信道成为了相当重要的事情。在表征信道质量的参数向量P中，咱们称传输有用信息的位为信息位，传输无用信息的位为冻结位。问题变成了如何求出这个参数向量P。只要咱们求得这个P，而后对它进行从小到大的排序，再根据码率肯定要用到多少信息位，而后从排好序的P中挑选出性能最好的那部分，就能够实现咱们的需求。

　　Arikan的论文中这样说道：“对于一个给定的B-DMC信道W，本论文对信道的两个参数感兴趣：一个是信道的对称容量I(W)：

　　I(W)表明了等几率输入下，经过信道W进行可靠信息传输的最大速率。第二个称为巴氏参数Z(W)：

　　巴氏参数表明了在一次经过W传输0或1时，最大似然判决错误几率的上限。显然，Z(W)反映了信道的可靠度 。

　　显然，咱们能够分别将这两个参数做为参数向量P，对于I(W)，咱们选择较大的I(W)做为信息位；对于Z(W)，咱们选择较小的Z(W)做为信息位。

　　早期Arikan提出，当W为BEC（二进制删除信道）时，有，计算两者中的任何一个均可以。Arikan论文中有Z(W)的递推计算公式：

　　其中第二个式子的不等号在W为BEC取等，所以咱们能够精确的计算巴氏参数，并且计算复杂度也较低，为O(NlogN)。

　　后来，Arikan给出了当W不为BEC信道时的计算方法，他提出使用“Monte-Carlo算法”（蒙特卡罗法）来近似计算巴氏参数，然而，这个计算的复杂度因输出符号集的指数型爆炸增加而变得不可能。

　　还有一种方法也用来进行巴氏参数的估计——Density Evolution（密度进化），可是这个方法缺点在于计算复杂度仍是较高（为O(n)），同时精确度也很差。

　　目前咱们项目组所使用的信息位选择采用的是tal-vardy所提出的算法。这种算法是Tal和Vardy于2013年发表在IEEE上的一篇21页的论文中提出的，论文名为《how to construct polar code》，感兴趣的读者能够去了解一下。若是对英文阅读感受到不舒服，读者也能够参考《极化码编码与译码算法研究》[王继伟]在2.2.3节中对这种算法的较为详细的中文介绍。

　　这种算法主要经过信道弱化和信道强化操做，将的输出符号集进行合并，使其可以具备符合咱们须要长度的输出符号集大小。另外，对于咱们常常用到的AWGN信道，经过高斯近似（GA）方法能够在很是低的复杂度下在较高的精确度上选择信息位。这里列出两篇发表在IEEE上的参考论文，有兴趣的读者能够自行去了解，这里再也不展开说了。

　　【1】《Evaluation and Optimization of Gaussian Approximation for Polar Codes》.Jincheng Dai等.(2016.5)

　　【2】《Construction and Block Error Rate Analysis of Polar Codes Over AWGN Channel Based on Gaussian Approximation》.Daolong Wu等.(2014.7)

 　　除此以外，还有一种办法能够提升极化码的构造效率。那就是使用“design-SNR”。

　　无论咱们采用什么构造办法，信息位的选取老是与SNR的取值密切相关。咱们在仿真极化码性能的时候，每每会以SNR为仿真图的横坐标，以BER、FER为纵坐标，观察曲线走向，经过对比曲线判断优劣。可是每一次带入新的SNR值，都要从新构造一个新的参数向量P，而后从新挑选信息位，这种传统的构造方法咱们称为“point-by-point（逐点SNR）”。这种重复性的工做无疑增长了极化码构造的时间复杂度。

　　经过研究，咱们发现，对于一个特定的码率，总存在一个完美的SNR，咱们称之为“design-SNR（设计SNR）”，咱们只须要代入这个SNR进行一次参数向量P的构造，而后将挑选好的信息位储存起来。之后在这个码率下，不论在哪一个SNR值下进行仿真，咱们只代入预存的这个信息位进行极化码的构造。因为信息位只构造了一次，时间复杂度获得了显著下降。

　　根据仿真结果显示，在码长和码块较大的状况下，design-SNR与point-by-point法契合的很是好，以下图：

　　获得了生成矩阵，又构造了信息位。接下来只须要进行简单的矩阵操做，再叠加上噪声，就能够实现极化码的编码。