最小生成树->Prim算法和Kruskal算法

背景：在学习图的知识时，最小生成树是一个最普遍的概念。它在日常生活中的应用很普遍，比如：有A、B、C、D、E五个城市，现在想在五个城市之间建设通信线路连通，每两个城市之间修建线路的费用不同，我们当然想用最小的代价将五个城市通信连接起来，这时，如何获取最小代价的方案，也就是如何找到最小生成树就显得尤为重要。

如何寻找最小生成树，目前常用的有Prim(普里姆)算法和Kruskal(克鲁斯卡尔)算法，接下来我们一个一个详细地介绍其原理。

为了方便理解，我们用一个图来直观地展示着两个算法。下图中A、B、C、D、E分别表示五个城市，每条边上的数字表示两个城市之间的修建通信线路的代价。设原图中顶点集合为U，关系集合为V；生成树中点的集合为u，关系集合为v。

                                                                

Prim算法：先选取一个顶点如A作为起点，将该点加入到集合u中，之后从和u中所有点相关联，且终点在集合U-u中的所有边中找出一条权值最小的边。将该边的存入v中，同时将该边的终点存入到u。重复以上步骤直至u中包含U中所有点。图解如下所示。

 

下面我们再用文字来记录一下Prim算法寻找最小生成树的步骤：

选出顶点A，将A存入到集合u中。

此时u中只有顶点A，和A相关联且终点在U-u中的边有A->B，A->C，A->E，这三条边中权值最小的为A->B，将关系A->B加入到集合v，同时将点B加入到集合u。

此时u中有顶点A，B，和u中点相关联且终点在U-u中的边有A->C，A->E，B->C，这三条边中权值最小的为A->C，将关系->C加入到集合v，同时将点C加入到集合u。

重复以上步骤，直至u中包含所有点。

Kruskal算法：每次从集合V中选出一条权值最小，且加入到v中后不会形成环的边，将该边从V中删除，并加入到v中，同时将该边的起点和终点加入到u中，若u中已有该顶点则忽略。重复上述步骤直至u中含有所有的点。图解如下所示：

下面我们用文字来记录一下Kruskal寻找最小生成树的步骤：

从集合V中选出一条权值最小且加入到v中后不会形成环的边，该边为A->B，将该边加入到v中，并从V中删除，同时将A，B两个点加入到u中。

从集合V 中再选出一条权值最小且加入到v中后不会形成环的边，该边为C->E，将该边加入到v中，并从V中删除，同时将C，E两个点加入到u中。

从集合V 中再选出一条权值最小且加入到v中后不会形成环的边，该边为A->C，将该边加入到v中，并从V中删除，同时将A，C两个点加入到u中。由于A，C已经在u中，忽略这两点。

从集合V 中再选出一条权值最小且加入到v中后不会形成环的边，该边为C->D，将该边加入到v中，并从V中删除，同时将C，D两个点加入到u中。由于C已经在u中，忽略C点。此时u中已经包含有所有的点，算法结束。