基于随机游走的三维网格分割算法（Random Walks）

　　首先以一维随机游走（1D Random Walks）为例来介绍下随机游走（Random Walks）算法，以下图所示，从某点出发，随机向左右移动，向左和向右的几率相同，都为1/2，而且到达0点或N点则不能移动，那么如何求该点到达目的地N点的几率。

　　该问题能够描述为以下数学形式：

P(0) = 0

P(N) = 1

P(x) = 1/2*P(x - 1) + 1/2*P(x + 1) for x = 1, 2, 3, … , N-1

　　若是用矩阵形式描述，即：

       那么经过求解该线性方程组就能够获得各个点到达目的地N点的几率，以上就是一维随机游走算法原理。

       [Grady et al. 2006]提出了利用随机游走思想来分割二维图像，文章将图像考虑成一张图（Graph），每一个像素对应图中一个节点，根据亮度差值定义节点间的权重（至关于一维随机游走中向左和向右的几率），而后用户指定前景（foreground）和背景（background）标签（至关于一维随机游走中N点和0点），经过求解线性方程组就能够获得各个像素点属于前景或背景的几率，若是将阈值几率设置为0.5，那么就能够分割获得指望的图像区域。

       [Lai et al. 2008]将这种思想扩展到三维网格分割，文章将网格中每一个三角片对应图中一个节点，利用相邻三角片之间的二面角来定义节点之间的权重，具体以下：

对于三角片f_i，定义一个f_i与相邻三角片f_i,k(k = 1, 2, 3)之间几何差别的函数d(f_i, f_i,k)：

d(f_i, f_i,k) = η·[1 – cos(dihedral(f_i, f_i,k))] = η/2·||N_i – N_i,k||²

其中：dihedral(f_i, f_i,k)表明相邻三角片f_i与f_i,k之间的二面角，N_i为三角片f_i的法向，对于凹边η设置为1.0，对于凸边η设置为0.2。

　　将d归一化：

　　节点之间的权重p_i,k能够根据函数d(f_i, f_i,k)给定：

　　一样经过求解线性方程组能够获得网格分割效果。

　　[Zhang et al. 2010]对[Lai et al. 2008]的网格分割算法作了部分改进，文章将网格中每一个顶点对应图中一个节点，因为一个网格的三角片数量一般是顶点数量的2倍左右，这样求解的方程变量数就会减小一半左右，计算速度就会获得提升。

效果：

 

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参考文献：

[1] Grady, L., "Random Walks for Image Segmentation," in Pattern Analysis and Machine Intelligence, IEEE Transactions on , vol.28, no.11, pp.1768-1783, Nov. 2006

[2] Yu-Kun Lai, Shi-Min Hu, Ralph R. Martin, and Paul L. Rosin. 2008. Fast mesh segmentation using random walks. In Proceedings of the 2008 ACM symposium on Solid and physical modeling (SPM '08). ACM, New York, NY, USA, 183-191.

[3] Zhang, J., Wu, C., Cai, J., Zheng, J. and Tai, X.-c. (2010), Mesh Snapping: Robust Interactive Mesh Cutting Using Fast Geodesic Curvature Flow. Computer Graphics Forum, 29: 517–526.