动态规划求最短路径

问题：寻找一条从左上角（a[0][0]）到右下角(a[m-1][n-1])的路线，使得沿途通过的数组中的整数和最小。

方法一：递归法

　　假设到a[i-1][j]与a[i][j-1]的最短路径和为f(i-1,j)和f(i,j-1)，那么达到a[i][j]的路径上全部数字的最小值为

f(i,j)=min{f(i-1,j),f(i,j-1)}+a[i][j];由此能够采用递归的方法来实现，递归的约束条件为遍历到a[0][0]。在递归的过程当中还应该考虑到特殊的状况：遍历到a[i][j](i=0或j=0)的时候，智能沿着固定的路径倒着往回找直到a[0][0].从a[m-1][n-1]逆向递归求解。

方法二：动态规划法

　　动态规划是一种用时间来换取空间的算法，经过缓存计算的中间值，从而减小重复计算的次数，提升算法的效率。从a[0][0]正向求解。使用一个新的二维数组保存计算的中间结果。

package com.wyl; /** * 寻找一条从左上角（a[0][0]）到右下角(a[m-1][n-1])的路线， * 使得沿途通过的数组中的整数和最小 * @author wyl * */
public class Test { /** * 使用动态规划法，用空间换取时间的算法，将中间结果进行存储 */
    public static int minPath(Integer[][] a){ int row = a.length; int col = a[0].length; if(row == 0 && col == 0){ return -1; } Integer[][] newArray = new Integer[row][col]; //保存中间结果
        newArray[0][0] = a[0][0]; for(int i=1;i<col;i++){ newArray[0][i] = newArray[0][i-1] + a[0][i]; } for(int i=1;i<row;i++){ newArray[i][0] = newArray[i-1][0] + a[i][0]; } for(int i=1;i<row;i++){ for(int j=1;j<col;j++){ if(newArray[i-1][j] < newArray[i][j-1]){ newArray[i][j] = newArray[i-1][j] + a[i][j]; System.out.println("[" + (i-1) + "," + j + "]" ); }else{ newArray[i][j] = newArray[i][j-1] + a[i][j]; System.out.println("[" + i + "," + (j-1) + "]" ); } } } System.out.println("[" + (row-1) + "," + (col-1) + "]" ); return newArray[row-1][col-1]; } public static void main(String[] args) { Integer[][] a = { {1,4,3}, {8,7,5}, {2,1,5}}; int min = minPath(a); System.out.println("最小值为：" + min); } }