独立成分分析(ICA)的模拟实验(R语言)

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本笔记是ESL14.7节图14.42的模拟过程。第一部分将以ProDenICA法为例试图介绍ICA的整个计算过程；第二部分将比较ProDenICA、FastICA以及KernelICA这种方法，试图重现图14.42。

ICA的模拟过程

生成数据

首先咱们得有一组独立（ICA的前提条件）分布的数据$S$（未知），而后通过矩阵$A_0$混合以后获得实际的观测值$X$，即

$$ X= SA_0 $$

也能够写成 $$ S=XA_0^{-1} $$

用鸡尾酒酒会的例子来讲就是，来自不一样个体的说话声通过麦克风混合以后获得咱们实际接收到的信号。假设有两组独立同分布的数据，分布都为n（对应图14.42中的编号），每组数据个数均为$N=1024$，混合矩阵为A0，用R代码描述这一过程以下

library(ProDenICA)
p = 2
dist = "n" 
N = 1024
A0 = mixmat(p)
s = scale(cbind(rjordan(dist,N),rjordan(dist,N)))
x = s %*% A0

最终咱们获得观测值x。

白化

在进行ICA时，也就是恢复$X=S\mathbf A$中的混合矩阵$\mathbf A$，都会假设$X$已经白化获得$\mathrm{Cov}(X)=\mathbf I$，而这个处理过程能够用SVD实现。对于中心化的$X$，根据

$$ X=\mathbf{UDV}^T= \sqrt{N}\mathbf U\frac{1}{\sqrt{N}}\mathbf{DV}^T=X^*\frac{1}{\sqrt{N}}\mathbf{DV}^T $$

获得知足$Cov(X^)=\mathbf I$的$X^$，则

$$ S=XA_0^{-1}=X^*DV^TA_0^{-1}/\sqrt{N} $$

因而通过这个变换以后，混合矩阵变为

$$ A = DV^TA_0^{-1}/\sqrt{N} $$

则 $$ X^*=SA^T $$

用R语言表示以下

x <- scale(x, TRUE, FALSE) # central
sx <- svd(x)	
x <- sqrt(N) * sx$u # satisfy cov(x) = I
target <- solve(A0)
target <- diag(sx$d) %*% t(sx$v) %*% target/sqrt(N) # new mixing maxtrix

ProDenICA法

细节再也不展开，直接利用ProDenICA中的包进行计算

W0 <- matrix(rnorm(2*2), 2, 2)
W0 <- ICAorthW(W0)
W1 <- ProDenICA(x, W0=W0,trace=TRUE,Gfunc=GPois)$W

获得$A$的估计值W1

计算Amari距离

amari(W1, target)

比较两种算法

这一部分试图重现Fig. 14.42。

N = 1024

genData <- function(dist, N = 1024, p = 2){
  # original sources
  s = scale(cbind(rjordan(dist, N), rjordan(dist, N)))
  # mixing matrix 
  mix.mat = mixmat(2)
  # original observation
  x = s %*% mix.mat
  
  # central x
  x = scale(x, TRUE, FALSE)
  # whiten x
  xs = svd(x)
  x = sqrt(N) * xs$u # new observations
  mix.mat2 = diag(xs$d) %*% t(xs$v) %*% solve(mix.mat) / sqrt(N) # new mixing matrix
  return(list(x = x, A = mix.mat2))
}

res = array(NA, c(2, 18, 30))
for (i in c(1:18)){
  for (j in c(1:30)){
    data = genData(letters[i])
    x = data$x
    A = data$A
    W0 <- matrix(rnorm(2*2), 2, 2)
    W0 <- ICAorthW(W0)
    # ProDenICA
    W1 <- ProDenICA(x, W0=W0,trace=FALSE,Gfunc=GPois, restarts = 5)$W
    # FastICA
    W2 <- ProDenICA(x, W0=W0,trace=FALSE,Gfunc=G1, restarts = 5)$W
    res[1, i, j] = amari(W1, A)
    res[2, i, j] = amari(W2, A)  
  }
}

res.mean = apply(res, c(1,2), mean)
#offset = apply(res, c(1,2), sd)
#offset = 0
#res.max = res.mean + offset/4
#res.min = res.mean - offset/4
res.max = apply(res, c(1,2), max)
res.min = apply(res, c(1,2), min)

# plot
plot(1:18, res.mean[1, ], xlab = "Distribution", ylab = "Amari Distance from True A", xaxt = 'n', type = "o", col = "orange", pch = 19, lwd = 2, ylim = c(0, 0.5))
axis(1, at = 1:18, labels = letters[1:18])
lines(1:18, res.mean[2, ], type = "o", col = 'blue', pch = 19, lwd=2)
legend("topright", c("ProDenICA", "FastICA"), lwd = 2, pch = 19, col = c("orange", "blue"))
#for(i in 1:18)
#{
#  for (j in 1:2)
#  {
#    color = c("orange", "blue")
#    lines(c(i, i), c(res.min[j, i], res.max[j, i]), col = color[j], pch = 3)
#    lines(c(i-0.2, i+0.2), c(res.min[j, i], res.min[j, i]), col = color[j], pch = 3)
#    lines(c(i-0.2, i+0.2), c(res.max[j, i], res.max[j, i]), col = color[j], pch = 3)
#  }
#}

获得下图

与图14.42的右图中的FastICA和ProDenICA的图象一致。

试图绘制出图中的变化范围，但因为书中并未指出变换范围是什么，尝试了标准差及最大最小值，但效果不是很好，这是能够继续优化的一个方面。下图是用四分之一的标准差做为其波动范围获得的

待完善

加入kernelICA