机器学习从入门到XX（一）：线性回归与梯度降低

介绍

什么是机器学习？

有两种定义。Arthur Samuel如此描述机器学习：一个领域的研究，旨在研究，在不进行编程的状况下，让计算机具备学习能力。

Tom Mitchell给出了一个更为现代的定义：一个计算机程序从经验E以及评判标准P中学习如何完成任务T，随着E的累积，P获得提高。

例如，下棋游戏中：

• E：在不少盘棋局中的经验
• T：下棋任务
• P：程序赢得下一盘棋的可能性

整体来讲，任何机器学习问题能够分为监督学习(supervised learning)和无监督学习(unsupervised learning)

监督学习

在监督学习中，给定一个数据集，而且咱们已经知道输出看起来是什么样子的，知道数据和输出之间是存在联系的。

监督学习可分为“回归(regression)”和“分类(classification)”两种类型的问题。在回归问题中，咱们试图预测连续的结果，换句话说，咱们试图将输入变量映射到某种连续函数。在分类问题中，却试图预测离散结果，换句话说，咱们试图将输入变量映射进离散的类别中。

例子1：

给定一组关于房子大小的数据，预估出价格。从大小推算价格的函数的输出是连续的，因此这是个回归问题。

若是换一种问法：“预估房价与指订价格的大小关系”。这个问题就转化为分类问题了，由于咱们试图将房价分为两种离散的类别中（大于或小于）。

例子2：

a) 回归：给定一张男性或女性的照片，推算年龄。
b) 分类：给定一张男性或女性的照片，估计他/她是高中生仍是大学生。另外一个分类的例子：银行须要根据跟人信用历史，判断是否要给其贷款。

无监督学习

无监督学习是指在几乎对结果一无所知的状况下，趋近结果。在对输入数据的变量缺乏必要的认识的状况下，从中获取一些结构。经过将数据中变量的关联，将数据进行聚类，从而获取这些结构。无监督学习对于预测结果是没有反馈的。

例如：

聚类：从1,000,000个不一样的基因中，找到某种方式，可以自动将具备某种类似性或关联的基因进行分组，这些变量多是寿命，位置，功能等。

非聚类：“鸡尾酒算法”，可否从嘈杂环境中识别不一样的声音。（例如，在鸡尾酒会上，从混合的声音中区分人声或音乐声）

模型和代价函数

模型表示

这里以监督学习中的房子大小预测房价问题为例。使用$ x^{(i)} $指代输入变量（这里是房屋面积），$ y^{(i)} $指代输出或者咱们须要预测的结果（这里是房屋价格）。元组($ x^{(i)}, y^{(i)} $)是训练用例数据集，m个训练用例$ (x^{(i)},y^{(i)});i=1,...,m $称为训练数据集。注意，上标(i)，并无幂运算的功能。咱们也会使用X，表征输入数据集，Y表征输出数据集。

稍微正规的解释一下监督学习是什么。监督学习的目标是，给定一个训练数据集，尝试学习一个函数h: X → Y，使得h(x)成为好的预测y的函数。因为历史缘由，这个h函数称为假设函数(hypothesis)，下图说明了这个流程：

若是咱们要预测的目标值是一个连续值时，例如房价预测问题，咱们称这种机器学习问题为回归(regression)问题；若是y值只在少数的离散值中取值（例如，假设给定面积，预测这是个house仍是apartment），咱们称为分类(classification)问题。

代价函数

咱们可使用代价函数(cost function)来衡量假设函数(hypothesis function)的精准性。代价函数实际上计算的就是每个经由假设函数计算而来的y，与实际的y的差值的平均值。当这个差值最小时，假设函数最优。

若是hypothesis function以下：

$$ h(x)=θ_0+θ_1x $$

这是一个线性函数，对于房价预测问题，咱们的最终目的是经过算法，获得一组最优的$ (θ_0,θ_1) $使得对全部的训练集合X(房屋面积)，经过h(x)计算获得的Y(房屋价格)与实际的Y误差最小，即拟合度最高。为了衡量h(x)的拟合度，使用代价函数$ J(θ_0,θ_1) $以下：

$$ J(θ_0,θ_1) = {1 \over 2m} {\sum_{i=1}^m(h_θ(x_i)-y_i)^2} $$

经过观察，不难发现，该公式实际计算的是，y的方差的均值。而且这个均值越小，说明拟合度越高。因此算法推导$ (θ_0,θ_1) $的过程，就是求$ J(θ_0,θ_1) $最小值的过程。

直观的看，咱们能够把训练数据集当作散落在一个x-y的二维坐标系中的点，试图找到一条直线（由$ h_θ(x) $定义），穿过这些点。最终的目的是，找到一条这样的一条直线，使得这些点离这条直线的垂直距离最近。理想状态下，这条直线可以穿过全部的点，这时$ J(θ_0,θ_1) $为0。

这个代价函数也称为平法偏差代价函数(Squared error function)或均方偏差(Mean squared error)。将均方除以2，是为了梯度降低算法的计算。下图总结了代价函数：

为了更直观的观察代价函数，咱们假设，须要预测的变量只有一个$ θ_1 $，那么h(x)以下：

$$ h(x)=θ_1x $$

这将是一条通过原点的直线。那么容易想到，随着斜率$ θ_1 $的变化，$ J(θ_1) $将呈现出一个以下相似抛物线的造型：

总能找到一个$ θ_1 $使得$ J(θ_1) $最小。

若是有两个变量$ J(θ_0,θ_1) $：

$$ h(x)=θ_0+θ_1x $$

那么$ J(θ_0,θ_1) $将同时受到两个变量的影响，这将是一个三维的图形：

所以，咱们总能找到一组$ (θ_0,θ_1) $，使得$ J(θ_0,θ_1) $最小。用三维图观察并不直观，如今咱们引入一种叫contour plot的图。观察上面的三维图，咱们用一个平行于底面的平面穿过曲面，与曲面相交，造成一个相似椭圆的闭环，随着这个平面高度的变化，将产生无数的相似椭圆的闭环，若是将这些椭圆闭环投影到底面，将造成一个相似靶环的图形，就跟下图的右图同样，这称为contour plot：

在同一个环上的点，对应不一样的$ (θ_0,θ_1) $取值，可是他们的$ J(θ_0,θ_1) $是相同的。而靶环的中心点，就是可以使得$ J(θ_0,θ_1) $最小的$ (θ_0,θ_1) $取值：

梯度降低

如今咱们有了hypothesis function和用于衡量hypothesis function中参数$ (θ_0,θ_1) $取值拟合度的cost function。如今将介绍第一个算法，称为Gradient Descent(梯度降低)。算法的目的是找到一组变量$ (θ_0,θ_1) $，使得他们的代价函数$ J(θ_0,θ_1) $最小。咱们把代价函数假想成以下的三维图，好似有一座座的山头，若是咱们从某个山头的某处出发，往下走，走到最低点，每一步往哪一个方向取决于当前往哪一个方向走最优，咱们可能会走到A点。若是换一个点出发，咱们可能走到B点：

在决定下一步往哪里走的时候，咱们采起的方式是，找到当前这个点的切线方向（切线即导数），切线方向告诉咱们应该往哪一个方向走；另外一个影响因素是，每一步大小α，这个参数咱们称为learning rate学习速率。单次梯度降低迭代获得的每每是局部最优解，即上图的A,B两点是对于不一样的起始点来讲的最优解。

梯度降低算法描述以下：

重复以下步骤，直到收敛：

$$ θ_j := θ_j - α{∂ \over ∂θ_j}J(θ_0,θ_1), j=0,1 $$

上述公式中的:=表示赋值，而不是数学意义上的判等。上式的迭代过程就是，从初始的$ (θ_0,θ_1) $开始，对于每组$ (θ_0,θ_1) $计算$ J(θ_0,θ_1) $的导数，而后获得新的$ (θ_0,θ_1) $，重复计算，直到$ (θ_0,θ_1) $再也不变化，即收敛。

为了更直观的展现算法，咱们任然假设h(x)只有一个参数$ θ_1 $：

$$ h(x)=θ_1x $$

那么此时的算法能够描述为，重复以下过程直到收敛：

$$ θ_1 := θ_1 - α{∂ \over ∂θ_j}J(θ_1) $$

因为$ J(θ_1) $是关于$ θ_1 $的二次函数，因此$ ∂ \over ∂θ_j $ 表示$ θ_1 $所在点的切线斜率。从下图能够看出，当$ θ_1 $在上升沿时，斜率为正数，这会使得$ θ_1 $在迭代过程当中逐渐减少；当$ θ_1 $在降低沿时，斜率为负数，这会使得$ θ_1 $在迭代过程当中逐渐减增大，总之都是趋近于最低点的$ θ_1 $。

因此能够看到，算法巧妙的使用导数，让迭代过程自动趋向于正确的方向。

在算法中，$ α $是一个可调参数，当$ α $过小时，每次迭代，$ θ_1 $的变化很小，这样会算法的效率；而当$ α $太大时，每次迭代，$ θ_1 $的变化很大，这有可能会产生震荡，甚至没法收敛：

理想状况下，$ ∂ \over ∂θ_j $会在最低点，使得斜率为0，此时：

$$ θ_1 := θ_1 − α ∗ 0 $$

这样获得的新的$ θ_1 $不变，这就是收敛。

再考虑有两个变量$ (θ_0,θ_1) $的状况：

$$ h(x)=θ_0+θ_1x $$

前面咱们将本来三维的代价函数，绘制成了contour plot，不难想象，在梯度降低算法的迭代过程当中，$ (θ_0,θ_1) $老是从远离靶心的位置开始，向靠近靶心的位置移动，最终收敛在靶心：

有了直观的认知后，咱们给出Gradient Descent(梯度降低)的推导式，这样可以方便计算机进行计算：

重复以下过程，直到收敛：

$$ θ_0 := θ_0 - α{1 \over m} {\sum_{i=1}^m(h_θ(x_i)-y_i)} $$

$$ θ_1 := θ_1 - α{1 \over m} {\sum_{i=1}^m((h_θ(x_i)-y_i)x_i)} $$

具体的推导过程省略。