经典动态规划——背包问题系列一

经典动态规划——背包问题系列一

复赛前发一波博客，虽然意义不是很大了……

本篇讲的是背包问题基础

01背包问题

简述

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的体积是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可以使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

思路

动态规划的基本题，背包问题之母。

对动态规划有必定了解的人应该都应理解它的原理和方程。

所谓动态规划，就是把问题分红互相联系的多个阶段决策，每一步决策都能影响答案。固然，各个阶段决策的选取不是任意肯定的，它依赖于当前面临的状态，又影响之后的发展。那么咱们须要肯定，各阶段之间的关系是什么以及各状态如何决策才能使答案最优。

在背包问题中，咱们一般把背包容量设为状态。那么咱们须要决策，到底如何放置物品，才能使各阶段背包在有限容量内装价值最多的物品？

首先咱们须要知道：背包容量大的状态必定由容量小的状态转移过来，由于咱们要不断选物品，这样是总重量愈来愈大。如今咱们用f[i][j]示前i件物品恰放入一个容量为v的背包能够得到的最大价值。

咱们只要枚举物品，在有限的空间里取物品，并一直取max，就能在规定背包空间内跑完。

\[ dp[i][v] = max(dp[i-1][v],dp[i-1][v-c[i]]+w[i]） \]

为何要逆着枚举？由于容量大的状态要从容量小的状态转移过来，而咱们要固定每一个容量去装物品，因此要从大到小枚举。

代码

for(int i=1;i<=n;i++) 
    for(int j=v;j>=0;j--)
    {
        if(j >= c[i])
            dp[i][j]=max(dp[i-1][j-c[i]]+w[i],dp[i-1][j]);
        else
            dp[i][j] = dp[i-1][j];
    }

优化

将咱们能够优化一维空间，方程就变成了：
\[ dp[v] = max(dp[v],dp[v-c[i]] + w[i]) \]

代码

for(int j=v;j>=w[i];j--)
    dp[j] = max(dp[j],dp[j-c[i]]+w[i]);

拓展：背包方案数问题

简述

仍是01背包，如今让你求取得物品总价值最大时的方案数。

思路

相似地，仍是思考状态是什么以及如何从上一个状态转移过来。咱们还设状态为前i个物品，以及背包体积v。动归数组存的是方案数，而后思考如何转移。

咱们设dp[i][j]存的是最大价值，f[i][j]存的是方案数。

类比以前的方程，若dp[i][j]由dp[i-1][j]转移过来，那么f[i][j]的应该等于f[i-1][j]；若dp[i][j]由dp[i][j-c[i]]转移过来，那么f[i][j]也应该等于f[i][j-c[i]]；若dp[i][j-c[i]]与dp[i-1][j]相等，那么根据加法原理，f[i][j]应是f[i-1][j]与f[i][j-c[i]]的和。

因此咱们得出了方程：
\[ f[i][j] = \begin{cases} f[i-1][j]\ \ \ \ \ \ (dp[i-1][j] > dp[i][j-c[i]])\\ f[i][j-c[i]]\ \ \ (dp[i-1][j] < dp[i][j-c[i])\\ f[i-1][j] + f[i][j-c[i]]\ \ (dp[i-1][j] = dp[i][j-c[i]) \end{cases} \]

拓展：数字组合问题

简述

给你n块钱，有m种钱币，每种钱币只能用一次，问组成n块钱有多少种方法。

思路

既然你要考虑用dp作，那你确定会毫无疑问地去选择前i个物品，选j个和钱数k做为状态，用背包来计算方案数。

也就是
\[ dp[i][j][k] += dp[i-1][j][k] \]

\[ if(k >= v[i]) \\ dp[i][j][k] += dp[i-1][j-1][k-v[i]] \]

事实上这样会超时。

因此要怎么作？

先将物品排升序，枚举状态\(i\)，表示第\(i\)个物品是未被选的物品中价值最小的一个物品。

那么价值比它小的物品，都在它左面，并且都会被选，把他们用前缀和维护起来。

如今你剩余一些钱j，从后面选取一些物品使价值最大但不超过j，这就是背包。

因此一共二维，时间复杂度空间复杂度皆下降。