（转）二分图最大匹配的König定理及其证实

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二分图最大匹配的König定理及其证实

    若是你看不清楚第二个字母，下面有一个大号字体版本：

二分图最大匹配的König定理及其证实

    本文将是这一系列里最短的一篇，由于我只打算把König定理证了，其它的废话一律没有。
    如下五个问题我可能会在之后的文章里说，若是你如今很想知道的话，网上去找找答案：
    1. 什么是二分图；
    2. 什么是二分图的匹配；
    3. 什么是匈牙利算法；(http://www.matrix67.com/blog/article.asp?id=41)
    4. König定理证到了有什么用；
    5. 为何o上面有两个点。

    König定理是一个二分图中很重要的定理，它的意思是，一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数。若是你还不知道什么是最小点覆盖，我也在这里说一下：假如选了一个点就至关于覆盖了以它为端点的全部边，你须要选择最少的点来覆盖全部的边。好比，下面这个图中的最大匹配和最小点覆盖已分别用蓝色和红色标注。它们都等于3。这个定理相信大多数人都知道，可是网络上给出的证实并很少见。有一些网上常见的“证实”明显是错误的。所以，我在这里写一下这个定理的证实，但愿对你们有所帮助。



    假如咱们已经经过匈牙利算法求出了最大匹配（假设它等于M），下面给出的方法能够告诉咱们，选哪M个点能够覆盖全部的边。
    匈牙利算法须要咱们从右边的某个没有匹配的点，走出一条使得“一条没被匹配、一条已经匹配过，再下一条又没匹配这样交替地出现”的路（交错轨，增广路）。可是，如今咱们已经找到了最大匹配，已经不存在这样的路了。换句话说，咱们能寻找到不少可能的增广路，但最后都以找不到“终点是尚未匹配过的点”而失败。咱们给全部这样的点打上记号：从右边的全部没有匹配过的点出发，按照增广路的“交替出现”的要求能够走到的全部点（最后走出的路径是不少条不完整的增广路）。那么这些点组成了最小覆盖点集：右边全部没有打上记号的点，加上左边已经有记号的点。看图，右图中展现了两条这样的路径，标记了一共6个点（用 “√”表示）。那么，用红色圈起来的三个点就是咱们的最小覆盖点集。
    首先，为何这样获得的点集点的个数刚好有M个呢？答案很简单，由于每一个点都是某个匹配边的其中一个端点。若是右边的哪一个点是没有匹配过的，那么它早就当成起点被标记了；若是左边的哪一个点是没有匹配过的，那就走不到它那里去（不然就找到了一条完整的增广路）。而一个匹配边又不可能左端点是标记了的，同时右端点是没标记的（否则的话右边的点就能够通过这条边到达了）。所以，最后咱们圈起来的点与匹配边一一对应。
    其次，为何这样获得的点集能够覆盖全部的边呢？答案一样简单。不可能存在某一条边，它的左端点是没有标记的，而右端点是有标记的。缘由以下：若是这条边不属于咱们的匹配边，那么左端点就能够经过这条边到达（从而获得标记）；若是这条边属于咱们的匹配边，那么右端点不多是一条路径的起点，因而它的标记只能是从这条边的左端点过来的（想一想匹配的定义），左端点就应该有标记。
    最后，为何这是最小的点覆盖集呢？这固然是最小的，不可能有比M还小的点覆盖集了，由于要覆盖这M条匹配边至少就须要M个点（再次回到匹配的定义）。
    证完了。
  
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