二分图的最大匹配

二分图；

大意： 

  二分图指的是这样一种图，其全部顶点能够分红两个集合X和Y，其中X或Y中任意两个在同一集合中的点都不相连，全部的边关联在两个顶点中，刚好一个属于集合Ｘ，另外一个属于集合Ｙ。给定一个二分图G，M为G边集的一个子集，若是M知足当中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。

   二分图的最大匹配有两种求法，第一种是最大流；第二种就是我如今要讲的匈牙利算法。这个算法说白了就是最大流的算法，可是它跟据二分图匹配这个问题的特色，把最大流算法作了简化，提升了效率。

 增广路径的定义(也称增广轨或交错轨)：

一条增广路径（Augmenting Path）是指从 M 中没有用到的顶点开始，并从 M 中没有用到的顶点结束的交替路径。(PS:一条交替路径（Alternating Path）是指这样一条路径，其中的每一条边交替地属于或不属于匹配 M。好比说，第1、3、五条边属于 M，而第2、4、六条不属于 M，等等。)

因此以下图（3）中所示即为一条增广路径。

结合增广路径的定义和下图所示，咱们能够理解如下结论：

• 增广路径的长度一定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于 M。

• 将 M 和增广路径进行异或操做（去同存异）能够获得一个更大的匹配 M'。

• M' 比 M 的匹配数多 1。

• M 为 G 的最大匹配当且仅当不存在 M 的增广路径。

最大流算法的核心问题就是找增广路径（augment path）。匈牙利算法也不例外，它的基本模式就是：
     初始时最大匹配为空
      while 找获得增广路径
               do 把增广路径加入到最大匹配中去
      可见和最大流算法是同样的。可是这里的增广路径就有它必定的特殊性。（注：匈牙利算法虽然根本上是最大流算法，可是它不须要建网络模型，因此图中再也不须要源点和汇点，仅仅是一个二分图。每条边也不须要有方向。）

      算法的思路是不停的找增广路径, 并增长匹配的个数,增广路径顾名思义是指一条可使匹配数变多的路径，在匹配问题中,增广路径的表现形式是一条"交错路径"，也就是说这条由图的边组成的路径， 它的第一条边是目前尚未参与匹配的，第二条边参与了匹配，第三条边没有..最后一条边没有参与匹配，而且始点和终点尚未被选择过。这样交错进行，显然他有奇数条边。那么对于这样一条路径，咱们能够将第一条边改成已匹配，第二条边改成未匹配...以此类推。也就是将全部的边进行"反色"，容易发现这样修改之后，匹配仍然是合法的，可是匹配数增长了一对。另外，单独的一条链接两个未匹配点的边显然也是交错路径。能够证实。当不能再找到增广路径时，就获得了一个最大匹配，这也就是匈牙利算法的思路。

3个重要结论：

1 最小点覆盖数： 最小覆盖要求用最少的点（Ｘ集合或Ｙ集合的都行）让每条边都至少和其中一个点关联。能够证实：最少的点（即覆盖数）＝最大匹配数
2 最小路径覆盖=最小路径覆盖＝｜N｜－最大匹配数
     用尽可能少的不相交简单路径覆盖有向无环图Ｇ的全部结点。解决此类问题能够创建一个二分图模型。把全部顶点i拆成两个：Ｘ结点集中的i和Y结点集中的i'，若是有边i->j，则在二分图中引入边i->j'，设二分图最大匹配为m，则结果就是n-m。
3 二分图最大独立集=顶点数-二分图最大匹配
     在Ｎ个点的图G中选出m个点，使这m个点两两之间没有边，求m最大值。
若是图Ｇ知足二分图条件，则能够用二分图匹配来作．最大独立集点数 = N - 最大匹配数。 
例题：
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1281棋盘游戏

一种建图的方式，对于一个坐标，x ， y 能够分红两个不一样的集合，若是该点知足某种性质的话，就在 x ， y 上连一条线，本题就是这样的……
本题要求关键点，那么只须要对于每一个可行点进行删点，而后看看得出的最大匹配是否小于不删点的解，若是小于，则是关键点……统计一下便可。
代码：
[cpp] view plaincopy
/*==================================================*\
| 二分图匹配（匈牙利算法DFS 实现）
| INIT: g[][]邻接矩阵;
| 优势：实现简洁容易理解，适用于稠密图，DFS找增广路快。
| 找一条增广路的复杂度为O（E），最多找V条增广路，故时间复杂度为O（VE）
==================================================*/ 
#include<stdio.h> 
#include<memory.h> 
 
bool g[101][101]; //邻接矩阵，true表明有边相连 
bool visit[101];    //记录V2中的某个点是否被搜索过 
int match[101];   //记录与V2中的点匹配的点的编号 
int n,m,k;   //二分图中左边、右边集合中顶点的数目  
 
// 匈牙利算法 
bool dfs(int u) 
{ 
    for (int i = 1; i <= m; ++i) 
    { 
        if (g[u][i] && !visit[i])   //若是节点i与u相邻而且未被查找过 
        { 
            visit[i] = true;   //标记i为已查找过 
            if (match[i] == -1 || dfs(match[i]))   //若是i未在前一个匹配M中，或者i在匹配M中，可是从与i相邻的节点出发能够有增广路径 
            { 
                match[i] = u;  //记录查找成功记录，更新匹配M（即“取反”） 
                return true;   //返回查找成功 
            } 
        } 
    } 
    return false; 
} 
 
inline int MaxMatch() 
{   
    int i,sum=0;   
    memset(match,-1,sizeof(match));   
    for(i = 1 ; i <= n ; ++i)   
    {   
        memset(visit,false,sizeof(visit));   //清空上次搜索时的标记   
        if( dfs(i) )    //从节点i尝试扩展   
        {   
            sum++;   
        }   
    }   
    return sum;   
} 
 
int main(void) 
{ 
    int i,j,ans,x,y,num,t=1; 
    while (scanf("%d %d %d",&n,&m,&k)!=EOF) 
    { 
          memset(g,false,sizeof(g));   //初始化 
          for (i = 1; i <= k; ++i) 
          { 
              scanf("%d %d",&x,&y); 
              g[x][y] = true; 
          } 
          ans = MaxMatch(); 
          num = 0; 
          for (i = 1; i <= n; ++i) 
          { 
              for (j = 1; j <= m; ++j) 
              { 
                  if(g[i][j] == true) 
                  { 
                      g[i][j] = false; 
                      if(MaxMatch() < ans) 
                          num++; 
                      g[i][j] = true; 
                  } 
              } 
          } 
          printf("Board %d have %d important blanks for %d chessmen.\n",t++,num,ans); 
    } 
    return 0; 
} 

ps：对于二分图方面的题  难的不是代码 而是你是否能看出这是一道二分图的题 是否有这种转化能力  固然 若是你知道了 套个模板基本就能对