数据结构：时间复杂度与空间复杂度

时间复杂度与空间复杂度

1、时间复杂度

时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一 个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知 道。可是咱们须要每一个算法都上机测试吗？是能够都上机测试，可是这很麻烦，因此才有了时间复杂度这个 分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操做的执行次数，为算法的时间复杂度。

大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
一、用常数1取代运行时间中的全部加法常数。
二、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
三、若是最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。获得的结果就是大O阶。
大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏状况：
最坏状况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均状况：任意输入规模的指望运行次数 最好状况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好状况：1次找到
最坏状况：N次找到
平均状况：N/2次找到
在实际中通常状况关注的是算法的最坏运行状况，因此数组中搜索数据时间复杂度为O(N)。

常见的时间复杂度

常见的时间复杂度有：
常数阶O(1),
对数阶O(log2 n),
线性阶O(n),
线性对数阶O(n log2 n),
平方阶O(n^2)，
立方阶O(n^3)
k次方阶O(n^K),
指数阶O(2^n)。
随着n的不断增大，时间复杂度不断增大，算法花费时间越多。

常见时间复杂度计算举例

举例一：

int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
 {
     ++count;
 }
int M = 10; 
while (M--)
 {
    ++count; 
 }
printf("%d\n", count);

基本操做执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)

举例二：

int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++ k) 
{
    ++count; 
}
printf("%d\n", count);

执行100次，时间复杂度为O（1）

举例三：

const char * strchr ( const char * str, int character );

操做执行最好1次，最坏N次，时间复杂度通常看最坏，时间复杂度为 O(N)

举例四：（冒泡排序）

void BubbleSort(int* a, int n)
 {
    assert(a);
    for (size_t end = n; end > 0; --end) 
     {    
          int exchange = 0;
         for (size_t i = 1; i < end; ++i) 
            {       
               if (a[i-1] > a[i])
               {
                       Swap(&a[i-1], &a[i]);
                       exchange = 1;
               }   
            }
         if (exchange == 0)
         break; 
    }
}

基本操做执行最好N次，最坏执行了(N*(N+1)/2次，经过推导大O阶方法+时间复杂度通常看最 坏，时间复杂度为 O(N^2)

举例五：（二分查找）

int BinarySearch(int* a, int n, int x)
 { 
      assert(a);
      int begin = 0;
      int end = n-1;
     while (begin < end)
     {   
           int mid = begin + ((end-begin)>>1); 
           if (a[mid] < x)  
                begin = mid+1;  
           else if (a[mid] > x)      
                end = mid;   
           else      
                return mid;
     }
    return -1;
 }

基本操做执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN) ps：logN在算法分析中表示是底 数为2，对数为N。有些地方会写成lgN。（建议经过折纸查找的方式讲解logN是怎么计算出来的）

实例六：（用递归求n的阶乘）

long long Factorial(size_t N)
 {
  return N < 2 ? N : Factorial(N-1)*N;
 }

经过计算分析发现基本操做递归了N次，时间复杂度为O(N)。

实例七：（递归求斐波那契数列）

long long Fibonacci(size_t N) 
{
 return N < 2 ? N : Fibonacci(N-1)+Fibonacci(N-2);
 }

经过计算分析发现基本操做递归了2^N 次，时间复杂度为O(2^N)。（建议画图递归栈帧的二叉树）

2、空间复杂度

空间复杂度的概念

空间复杂度是对一个算法在运行过程当中临时占用存储空间大小的量度 。空间复杂度不是程序占用了多少 bytes的空间，由于这个也没太大意义，因此空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践 复杂度相似，也使用大O渐进表示法。

常见空间复杂度计算举例

举例一：（冒泡排序）

void BubbleSort(int* a, int n)
 {
    assert(a);
    for (size_t end = n; end > 0; --end) 
     {    
          int exchange = 0;
         for (size_t i = 1; i < end; ++i) 
            {       
               if (a[i-1] > a[i])
               {
                       Swap(&a[i-1], &a[i]);
                       exchange = 1;
               }   
            }
         if (exchange == 0)
         break; 
    }
}

使用了常数个额外空间，因此空间复杂度为 O(1)

实例二：（用递归求n的阶乘）

long long Factorial(size_t N)
 {
  return N < 2 ? N : Factorial(N-1)*N;
 }

递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每一个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)