Java数据结构和算法（七）B+ 树

Java数据结构和算法（七）B+ 树

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咱们都知道二叉查找树的查找的时间复杂度是 O(logN)，其查找效率已经足够高了，那为何还有 B 树和 B+ 树的出现呢？难道它两的时间复杂度比二叉查找树还小吗？答案固然不是， B 树和 B+ 树的出现是由于另一个问题，那就是磁盘 IO。

1、计算机中数据的存储原理

页是计算机管理存储的逻辑块，硬件及操做系统每每将主存和磁盘存储区分割为连续的大小相等的块。每一个块都称为一页(在许多操做系统中，页大小一般为 4K)，主存和磁盘以页为单位交换数据。

文件系统及数据库系统的设计利用了磁盘预读原理，将一个节点的大小设计为一个页，这样每一个节点只须要一次 IO 就能够彻底载入。

众所周知，IO 操做的效率很低，那么，当在大量数据存储中，查询时咱们不能一会儿将全部数据加载到内存中，只能逐一加载磁盘页，每一个磁盘页对应树的节点。形成大量磁盘 IO 操做（最坏状况下为树的高度）。平衡二叉树因为树深度过大而形成磁盘 IO 读写过于频繁，进而致使效率低下。

因此，咱们为了减小磁盘 IO 的次数，就你必须下降树的深度，将“瘦高”的树变得“矮胖”。一个基本的想法就是：

• 每一个节点存储多个元素
• 摒弃二叉树结构，采用多叉树

这样就引出来了一个新的查找树结构 - 多路查找树。 根据 AVL 给咱们的启发，一颗平衡多路查找树(B~树)天然可使得数据的查找效率保证在 O(logN) 这样的对数级别上。

下面来具体介绍一下 B 树（Balance Tree），

2、B 树

一个 m 阶的 B 树具备以下几个特征：B 树中全部结点的孩子结点最大值称为 B 树的阶，一般用 m 表示。一个结点有 k 个孩子时，必有 k-1 个关键字才能将子树中全部关键字划分为 k 个子集。

2.1 特色

1. 根结点至少有两个子女。
2. 每一个中间节点都包含 k-1个 元素和 k 个孩子，其中 ceil（m/2） ≤ k ≤ m
3. 每个叶子节点都包含 k-1 个元素，其中 ceil（m/2） ≤ k ≤ m
4. 全部的叶子结点都位于同一层。
5. 每一个节点中的元素从小到大排列，节点当中k-1个元素正好是k个孩子包含的元素的值域划分
6. 每一个结点的结构为：（n，A0，K1，A1，K2，A2，… ，Kn，An）
   其中，Ki(1≤i≤n) 为关键字，且 Ki < Ki + 1 (1 ≤ i ≤n-1)。
   Ai(0 ≤ i ≤ n)为指向子树根结点的指针。且 Ai 所指子树全部结点中的关键字均小于 Ki + 1。
   n 为结点中关键字的个数，知足 ceil(m / 2) - 1≤ n ≤m - 1。

示例：三阶 B 树

2.1 查询

以上图为例：若查询的数值为５：

第一次磁盘ＩＯ：在内存中定位（与1七、35比较），比17小，左子树；
第二次磁盘ＩＯ：在内存中定位（与８、12比较），比８小，左子树；
第三次磁盘ＩＯ：在内存中定位（与三、5比较），找到5，终止。

整个过程当中，咱们能够看出：比较的次数并不比二叉查找树少，尤为适当某一节点中的数据不少时，可是磁盘 IO 的次数倒是大大减小。比较是在内存中进行的，相比于磁盘 IO 的速度，比较的耗时几乎能够忽略。因此当树的高度足够低的话，就能够极大的提升效率。相比之下，节点中的元素多点也不要紧，仅仅是多了几回内存交互而已，只要不超过磁盘页的大小便可。

注意：

1. B 树主要用于文件系统以及部分数据库索引，如 MongoDB。而大部分关系数据库则使用 B+ 树作索引，例如：mysql 数据库；
2. 从查找效率考虑通常要求 B 树的阶数 m >= 3;
3. B 树上算法的执行时间主要由读、写磁盘的次数来决定，故一次 I/O 操做应读写尽量多的信息。所以 B- 树的结点规模通常以一个磁盘页为单位。一个结点包含的关键字及其孩子个数取决于磁盘页的大小。

3、B+ 树

B+ 树是 B 树的变种，有着比 B 树更高的查询效率。下面，咱们就来看看 B+ 树和 B 树有什么不一样

3.1 特色

1. 有 k 个子树的中间节点包含有 k 个元素（B 树中是 k-1 个元素），每一个元素不保存数据，只用来索引，全部数据
   都保存在叶子节点。

2. 全部的叶子结点中包含了所有元素的信息，及指向含这些元素记录的指针，且叶子结点自己依关键字的大小
   自小而大顺序连接。

3. 全部的中间节点元素都同时存在于子节点，在子节点元素中是最大（或最小）元素。

下面是一棵 3 阶的 B+ 树：

B+ 树一般有两个指针，一个指向根结点，另外一个指向关键字最小的叶子结点。因些，对于 B+ 树进行查找两种运算：一种是从最小关键字起顺序查找，另外一种是从根结点开始，进行随机查找。

3.2 查找

B+ 树的优点在于查找效率上 ，下面咱们作一具体说明：

首先，Ｂ＋树的查找和Ｂ树同样，相似于二叉查找树。起始于根节点，自顶向下遍历树，选择其分离值在要查找值的任意一边的子指针。在节点内部典型的使用是二分查找来肯定这个位置。

（1）不一样的是，Ｂ＋树中间节点没有卫星数据（索引元素所指向的数据记录），只有索引，而Ｂ树每一个结点中的每一个关键字都有卫星数据；这就意味着一样的大小的磁盘页能够容纳更多节点元素，在相同的数据量下，Ｂ＋树更加“矮胖”，ＩＯ操做更少

（2）其次，由于数据结构的不一样，致使查询过程也不一样；B 树的查找只需找到匹配元素便可，最好状况下查找到根节点，最坏状况下查找到叶子结点，所说性能很不稳定，而 B+ 树每次必须查找到叶子结点，性能稳定

（3）在范围查询方面，B+ 树的优点更加明显

B树的范围查找须要不断依赖中序遍历。首先二分查找到范围下限，在不断经过中序遍历，知道查找到范围的上限便可。整个过程比较耗时。

而 B+ 树的范围查找则简单了许多。首先经过二分查找，找到范围下限，而后同过叶子结点的链表顺序遍历，直至找到上限便可，整个过程简单许多，效率也比较高。

例如：一样查找范围 [3-11]，二者的查询过程以下：

4、总结

B+ 树相比 B 树的优点：

1. 单一节点存储更多的元素，使得查询的 IO 次数更少；
2. 全部查询都要查找到叶子节点，查询性能稳定；
3. 全部叶子节点造成有序链表，便于范围查询。

参考：

1. 《简单剖析B树（B-Tree）与Ｂ+树》：http://www.javashuo.com/article/p-vlejbcwz-hm.html

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