算法题我的思路总结

数学

1.设A与C是互质的两个数，求B，使得A*B=1(mod C)。

解：因为gcd(A,C)=1，所以利用扩展欧几里德函数能够找到a*A+c*C=1，即a*A=1(mod C)。咱们取B=a便可。

 

2.求$\sum_{i=1}^n{\frac{1}{i}}$的上下界。

解：$\ln \left( n+1 \right) = \int_1^{n+1}{\frac{1}{x}dx}\le \sum_{i=1}^n{\frac{1}{i}}\le 1+\int_1^n{\frac{1}{x}dx}=1+\ln \left( n \right) $。

 

3.求形如$\sum_{i=1}^n{i^{\alpha}}$的上下界，其中α>=0。

解：$1+\frac{1}{\alpha +1}\left( n^{\alpha +1}-1 \right) =1+\int_1^n{x^{\alpha}dx}\le \sum_{i=1}^n{i^{\alpha}}\le \int_1^{n+1}{x^{\alpha}dx}=\frac{1}{\alpha +1}\left( \left( n+1 \right) ^{\alpha +1}-1 \right) $。

 

4.对于全部i<=L，求全部i的素因子。

解：利用欧拉筛，每次都只会处理一次合数，处理的时候将所用到的素数填入。时间复杂度为O(L)。

 

5.因子数目最多的数。

解：<=1e1, 6, 4

　　<=1e2,60,12

　　<=1e3,840,32

　　<=1e4,7560,64

　　<=1e5,83160,128

　　<=1e6,720720,240

　　<=1e7,8648640,448

　　<=1e8,73513440,768

 

6.对多项式进行卷积 。

解：快速傅立叶变换。

 

7.求a/b向上取整

解：(a+b-1)/b。

 

8.对浮点数f进行四舍五入

解：(int)(f + 0.5)

 

9.取整数i的二进制最后一位。

解：i&-i。

数据结构

1.要求大批量查询区间最大值最小值。

解：1.若是区间不会被修改，则使用ST算法在长度为n的区间上以时空复杂度O(nlog2n)作预处理，并以O(1)时间复杂度作查询。

　　2.若是区间会被修改，则使用线段树进行处理。

 

2.在一株树上统计路径信息。

解：使用LCT，全部操做时间复杂度均为O(log2n)。

 

3.数据范围较大，但实际数据较少。

解：离散处理。

 

4.要求屡次处理树上差分，每一个结点对应一组值。

解：树上每一个结点对应一个持久化线段树，而且子结点的持久化线段树在父结点的持久化线段树上建立。

 

5.给定n大小不变区间，区间值最大值为M，m次查询区间第k小。

解：将区间视为一株树，下标i对应i+1的父结点，问题至关于在树上作差分。查询区间[l,r]上第k小，等价于查询持久化线段树r与持久化线段树l-1的差分对应的线段树上第k小元素。时间复杂度为O((n+m)log2(M))。

 

6.给定一株含n个结点的树，m次查询lca。

解：1.先利用dfs将树压成区间，以后利用st处理区间最小值和最大值。时间复杂度为O(2nlog2(n)+m)。

　　2.若是容许离线处理，则利用tarjan算法能够在O(n+m)时间复杂度内求出。

 

7.给定长度为n的区间A，m次询问求子区间值的加总。

解：1.若是区间不会被修改，那么能够用差分，建立新的数组s，其中s[i]=A[0]+...+A[i]，则A[i]+...+A[j]=s[j]-s[i-1]。时间复杂度为O(n+m)。

　　2.若是区间会被修改，可使用线段树。时间复杂度为O(n+mlog2n)。

 

8.给定长度为n的数组，给定m个请求，每一个请求要求查询一段区间中不一样的值的数目。

解：莫队算法，暴力得AC，时间复杂度为O(n+n√m)。

 

9.给定一株树，每一个结点对应一个值。求某个结点做为根的子树下不一样的值的数目。

解：树上莫队，将树经过dfs压成数组，子树表明的是一段连续区间，以后莫队。

 

 

动态规划 

1.dp[i+1]=f(dp[i])，其中f是线性函数，求dp[k]，k很大。

解：将f表示为矩阵，以后对矩阵作快速幂乘求f^k，最后应用于dp[0]，则dp[k]=f^k(dp[0])。时间复杂度为O(n^3*log2(k))，n为矩阵大小（dp[i]的维度）。

 

字符串

1.给定长度为n的字符串，m次判断两个子串是否相同。

解：在字符串上进行hash处理，以后以O(1)实际复杂度取子串哈希值并进行比较。实际复杂度为O(n+m)。注意要当心生日悖论，若是哈希范围为k，则只须要sqrt(k)个不一样子串就有1/2以上的几率使得存在两个子串拥有相同哈希值，这时候能够屡次进行哈希，从而提升k的范围。

 

2.判断长度为n的字符串中最长回文。

解：1.哈希：利用哈希能够在O(1)时间复杂度内判断某个子串是否为回文，若是以i为左边界的最长回文为s[i,j]，则以i+1为左边界的最长回文至少为s[i-1,j-1]，所以判断总次数为2*n。

　　2.manacher算法，时空复杂度为O(n)。

　　3.回文树，时空复杂度为O(n*α)，α为字符集大小。

 

3.判断长度为n与m的字符串a与b的最长相同子串。

解：后缀自动机。

 

几何

1.平面上n个矩形，求被这些矩形覆盖的面积。

解：先对矩形按照矩形底部y坐标进行从小到大排序。以后用扫描线算法从左到右扫描矩形左右边界。总的时间复杂度为O(n^2)。

 

2.给定三个非共线点，计算三角形面积。

解：设三点为A，B，C，则求向量AB与AC以后计算|ABxAC|/2即为三角形面积，其中x表示外积。

 

3.给定向量a，b，判断b与a的关系。

解：计算axb，若为正数，则表示b在a的逆时针方向，若为负数，则b在a的顺时针方向，不然a与b共线。

 

4.给定三角形ABC，和一个点p，判断点p是否处于ABC内部（包含边上）。

解：计算ABp,ACp,BCp的面积之和，若是等同于ABC则p在ABC内部，不然在ABC外部。

 

5.计算凸多边形的面积。

解：凸多边形能够表示为多个三角形的合并。

 

6.判断点p与向量AB的关系。

解：至关于判断向量Ap与向量AB的关系。

 

7.判断点p在线段AB上。

解：要保证p于向量AB共线，以后还要保证min(A.x,B.x)<=p.x<=max(A.x,B.x)，且min(A.y,B.y)<=p.y<=max(A.y,B.y)。

 

8.三角形的心脏。

解：1.外心（外接圆圆心），三条中垂线交点。

　　2.心里（内接圆圆心），三条角平分线交点。

　　3.重心，三条中线交点，三条中线将三角形切分为6个面积相同的三角形，太重心任意一条划线，将三角形切分为面积相同的两部分。

 

9.计算两条直线交点，直线分别由两个不一样顶点P1,P2与P3,P4给出。

解：利用代数几何的思想。直线P1P2上的任意点能够由f(a)=(1-a)P1+ap2给出，同理P3,P4上的点能够由g(b)=(1-b)P3+bP4给出，当0<=a,b<=1时，f(a)与g(a)分别落在P1P2与P3P4所表明的线段上。

　　而P1P2与P3P4的交点则由等式f(a)=g(b)给定。

　　设Pi=(xi,yi)，则f(a)=g(b)能够展开为二元一次方程组：

$$
\begin{cases}
\left( x_2-x_1 \right) a+\left( x_3-x_4 \right) b=x_3-x_1\\
\left( y_2-y_1 \right) a+\left( y_3-y_4 \right) b=y_3-y_1\\
\end{cases}
\\
\Rightarrow \left[ \begin{matrix}
x_2-x_1& x_3-x_4\\
y_2-y_1& y_3-y_4\\
\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c}
a\\
b\\
\end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c}
x_3-x_1\\
y_3-y_1\\
\end{array} \right]
\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{c}
a\\
b\\
\end{array} \right] =\left[ \begin{matrix}
x_2-x_1& x_3-x_4\\
y_2-y_1& y_3-y_4\\
\end{matrix} \right] ^{-1}\left[ \begin{array}{c}
x_3-x_1\\
y_3-y_1\\
\end{array} \right]
$$

对于计算逆矩阵，能够利用：

$$
A^{-1}=\left( \det A \right) ^{-1}A^V
$$

其中A^V表示矩阵A的伴随矩阵，对于二元矩阵有：

$$
\left[ \begin{matrix}
a& b\\
c& d\\
\end{matrix} \right] ^V=\left[ \begin{matrix}
d& -b\\
-c& a\\
\end{matrix} \right]
$$

若detA=0，则表示式子有多个解或无解，这时候两条直线一定平行。

解出a与b后，能够利用f(a)或g(b)得到交点。

 

10.判断两条线段是否相交。

解：先利用问题9的解法计算两条线段的交点，获得a与b后验证0<=a,b<=1便可。或者算出交点后判断交点是否在两条线段上便可。

内存使用

1.n个槽，将m个对象存入到这n个槽中。

解：利用动态表或者链表均能以O(n+m)的时空复杂度内完成。

 

2.n个空间，使用前须要初始化，如何屡次复用。

解：额外分配n个空间，记录每一个对于空间上次初始化时的版本，以后访问该空间以前，先比较版本，若是版本不一样，则先初始化后更新版本。访问的时间复杂度为O(1)，可是常数较大。