基于估计的无约束预测控制 算法
1.引言 框架
基本上这两个部分都是在线性理论的框架下，利用状态空间法来建模、求解控制律。状态空间模型在理论分析上具备很强的优越性，但实际应用中能直接准确且经济地获取系统状态并不容易。有些状态，尤为是温度(如火箭喷口温度等)只能间接估计，所以咱们可使用状态观测器来重构一个易于实现的系统来模拟原系统的状态。 性能
具体的作法是，先利用原系统能够测量的变量，如系统可测输入输出，使得在必定条件下知足估计的状态与原状态渐进等价，随后利用观测器重构的系统设计控制律。 优化
观测器收敛条件 spa
在设计观测器的时候，首先要判断是否存在观测器。这里以全维观测器为例，观测器重构系统与原系统维度相同。设系统可测量输出为： 设计
设计以下估计器： 3d
若估计器的矩阵对（A，Cm）可测，即所有不能观阵型稳定，则状态观测器存在，能够经过设计L矩阵使（A-LCm）渐进稳定来达到观测器收敛条件。进一步，若（A，Cm）能观，即所有模态在输出端可测，还能够经过设计L任意配置（A-LCm）的极点来控制估计偏差的衰减速度，道理和任意配置系统极点设计状态反馈控制器是同样的，两个问题是对偶关系。 blog
2.算法设计 数学
基于估计的算法和原算法基本相同，只是能利用的只有测量值ym和估计值。在预测过程当中，用估计值做为预测系统将来状态的起点： class
获得的预测方程、控制律均与以前相同：
Ep用到的是估计值，估计值是由测量值代入估计器公式获得。而估计的状态又带入Yp与参考R作平方差造成MSE偏差看成待优化值，所以必定要保证L的设计良好才能够实现算法。
3.闭环系统分析
仅对稳定性进行分析，其他包括抗干扰性能和无静差跟踪性能与无约束预测控制相同。
考虑可测和不可测偏差，被控系统以下：
这里已经将Δu(k)带入，注意这里是原系统，咱们用由估计器设计出来的控制律做用到了原系统上（估计器只是为了模拟原系统行为来得到原来很难得到的状态）。并且，在引入了估计器以后，系统变得更加复杂了，基于估计设计的控制律可否控制原系统，新的系统可否稳定都是须要分析的。
将ym(k)=Cmx(k)和控制律带入估计器：
如今从新定义带状态观测器系统的状态向量：
则：
新的系统矩阵为：
为了知足控制系统设计的基本要求，即名义渐进稳定。咱们必须设计控制器让一个标称系统在控制输入的做用下渐进稳定。标称系统（也叫名义系统）是没有任何外部扰动和模型失配的理想系统，与名义稳定相对的是鲁棒稳定。要达到名义稳定须要让这个新的系统矩阵的全部特征根的模长小于一。咱们须要验证这个无约束MPC闭环系统是否知足分离原理。
咱们但愿能将系统知足分离原理，这样意味着闭环系统的极点由原系统在控制律做用下的极点和估计器的极点组成，状态观测器（估计器）的引入对原系统在控制律做用下的极点不影响，这样就能够分别独立设计两个系统的极点。只要两个子系统的极点都达到稳定要求，整合起来的新系统也知足稳定要求。
按道理来说，基于观测器反馈控制的线性系统是知足分离原理的。以前咱们获得的MPC控制律也能够看做一种状态反馈控制律，如今来验证一下是否真的知足分离原理。为此，咱们但愿找到一个代数等价的系统，这个系统的系统矩阵是个广义上三角矩阵，且对角线上的元素正好分别是原系统在控制律做用下的系统矩阵（参考上一篇结果）和观测器的系统矩阵（A-LCm）。
咱们知道，系统的状态变量是人为选择的，一个系统能够定义不一样状态。同一个系统能够有不少基于状态空间描述的数学模型。但对于一个系统，不一样的状态之间有着明确的数学变换关系，即非奇异线性变换关系：
存在一个可逆矩阵P，知足x1 = Px2。
由于状态须要彻底表征系统动力学行为，因此不一样的状态却包含相同的系统信息，天然知足线性变换的关系。反过来利用这个性质，咱们能够将已知状态变换成其余状态，从而获得系统新的数学描述，即新的状态空间方程。咱们称这样新旧两种系统（实际上是系统描述）是代数等价的。两个代数等价系统的系统参数矩阵知足这样的变换关系：
A2 = PA1P-1 B2 = PB1 C2=C1P-1 D2 = D1 , P为适当阶的可逆矩阵。
两个代数等价的系统具备不少共有属性，除了能控、能观性以外，咱们须要用到的就是代数等价系统具备相同的特征多项式和极点。为此，咱们定义这样的P矩阵，对由基于估计的MPC算法获得的系统矩阵进行代数等价变形：
对原系统作类似变换：
上式中的A - BuKmpc(Sx + ICc ） 是状态所有能够测量时预测控制闭环系统的稳定性断定矩阵而A - LCm 是状态估计器的稳定性断定矩阵．所以， 基于估计的预测控制闭环系统的极点由状态所有可测时的控制器极点和状态估计器的极点组成．也就是说， 对无约束MPC 闭环系统来讲， 分离原理成立， 状态反馈和估计器能够独设计．所以， 咱们能够获得结论：基于估计的无约束MPC 闭环系统名义渐近稳定， 当且仅当状态反馈MPC 稳定和状态估计器稳定。