（四）（线性变换）线性变换的定义|线性变换的矩阵表示|零空间与值空间

【矩阵论专栏】

文章目录

• A 线性变换的定义
• B 线性变换的矩阵表示
• C 零空间与值空间

A 线性变换的定义

（1）定义1（线性变换）设 $V_!，V_2$V!​，V2​是同一数域 $F$F上的线性空间， $T$T是 $V_1\rightarrow V_2$V1​→V2​的映射，若对 $V_1$V1​中任意向量 $\alpha，\beta$α，β，以及数域 $F$F中任意元素 $k$k，有： $T(\alpha+\beta)=T\alpha+T\beta$T(α+β)=Tα+Tβ $T(k\alpha=kT\alpha)$T(kα=kTα)
则称 $T$T为线性空间 $V_1$V1​到 $V_2$V2​的线性变换（或线性算子）。

例1：

例2：

例3：

B 线性变换的矩阵表示

设 $T$T是 $V^n\rightarrow V^m$Vn→Vm的线性变换， $\Beta_\alpha=\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\}$Bα​={α1​,α2​,...,αn​}与 $\Beta_\beta=\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_m\}$Bβ​={β1​,β2​,...,βm​}分别是 $V^n$Vn与 $V^m$Vm的基。

因为 $T\alpha_i\in V^m,i=1,2,..,n.$Tαi​∈Vm,i=1,2,..,n.设 $T\alpha_i$Tαi​在基 $\Beta_\beta=\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_m\}$Bβ​={β1​,β2​,...,βm​}下的坐标为： $A_i=\begin{bmatrix}a_{1i}\\.\\.\\a_{mi}\end{bmatrix},i=1,2,...,n.$Ai​=⎣⎢⎢⎡​a1i​..ami​​⎦⎥⎥⎤​,i=1,2,...,n.即有 $T\alpha_i=\Beta_\beta A_i$Tαi​=Bβ​Ai​，i=1,2,…,n.

记 $T\Beta_{\alpha}=\{T\alpha_1,T\alpha_2,...,T\alpha_n\}$TBα​={Tα1​,Tα2​,...,Tαn​}

则有： $T\Beta_\alpha=\{T\alpha_1,T\alpha_2,...,T\alpha_n\}=\{\Beta_\beta A_1,\Beta_\beta A_2,...,\Beta_\beta A_n\}=\Beta_\beta\{A_1,A_2,...,A_n\}=\Beta_\beta A$TBα​={Tα1​,Tα2​,...,Tαn​}={Bβ​A1​,Bβ​A2​,...,Bβ​An​}=Bβ​{A1​,A2​,...,An​}=Bβ​A

其中 $A=[A_1,A_2,...,A_n]$A=[A1​,A2​,...,An​]

$A$A：每一列对应的都是 $\Beta_\alpha里的向量\alpha_i做完线性变换T后，T\alpha_i在基\Beta_\beta 下的坐标$Bα​里的向量αi​做完线性变换T后，Tαi​在基Bβ​下的坐标

定义2 称矩阵 $A$A为线性变换 $T$T在基偶 $\{\Beta_{\alpha}，\Beta_{\beta}\}${Bα​，Bβ​}下的矩阵。若 $T$T是 $V^n\rightarrow V^n$Vn→Vn（自身）的线性变换，则取 $\Beta_{\beta}=\Beta_{\alpha}$Bβ​=Bα​，此时 $A$A是方阵，简称为 $T$T在基 $\Beta_{\alpha}$Bα​下的矩阵。 $A=[A_1，A_2，...，A_n]$A=[A1​，A2​，...，An​]
其中 $A_i$Ai​是 $T\alpha_i$Tαi​在像空间 $\Beta_{\beta}$Bβ​下的坐标。

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例子：

从A可以看出 $T$T使得向量在 $\alpha_1$α1​方向扩大十倍，在其他方向不变。

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例子：

2)中的 $[1 ,0, 0]^T$[1,0,0]T：取A第一列

C 零空间与值空间

（1）定义3（零空间和值空间）设 $T$T是 $V^n\rightarrow V^m$Vn→Vm的线性变换，记 $N(T)=\{\xi\in V^n|T\xi=0\}$N(T)={ξ∈Vn∣Tξ=0} $R(T)=\{T\xi\in V^m|\xi\in V^n\}$R(T)={Tξ∈Vm∣ξ∈Vn}称 $N(T)$N(T)为T的零空间（核）
称 $R(T)$R(T)为T的值空间（值域）
易知， $N(T)$N(T)是 $V^n$Vn的子空间； $R(T)$R(T)是 $V^m$Vm的子空间。

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（2）定义4（零度与秩）设 $T$T是 $V^n\rightarrow V^m$Vn→Vm的线性变换，记 $null(T)=dimN(T)$null(T)=dimN(T) $rank(T)=dimR(T)$rank(T)=dimR(T)称 $null(T)为$null(T)为 $T$T的零度,
称 $rank(T)$rank(T)为 $T$T的秩。

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（3）定理1设 $T$T是 $V^n\rightarrow V^m$Vn→Vm的线性变换， $\Beta_\alpha=\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\}$Bα​={α1​,α2​,...,αn​}与 $\Beta_\beta=\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_m\}$Bβ​={β1​,β2​,...,βm​}分别是 $V^n$Vn与 $V^m$Vm的基， $T$T在基偶 $\{\Beta_\alpha,\Beta_\beta \}${Bα​,Bβ​}下的矩阵为 $A$A，则有： $1)null(T)=diN(A)=n-rank(A)$1)null(T)=diN(A)=n−rank(A) $2)rank(T)=dimR(A)=rank(A)$2)rank(T)=dimR(A)=rank(A) $3)rank(T)+null(T)=n$3)rank(T)+null(T)=n

例题：

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（4）求零空间 $N(T)$N(T)与值空间 $R(T)$R(T)的基的一般方法：

设 $T$T是 $V^n\rightarrow V^m$Vn→Vm的线性变换， $\Beta_\alpha=\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\}$Bα​={α1​,α2​,...,αn​}与 $\Beta_\beta=\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_n\}$Bβ​={β1​,β2​,...,βn​}分别是 $V^n$Vn与 $V^m$Vm的基。
1）求零空间 $N(T)$N(T)的基：

• 先求出 $T$T在基偶 $\{\Beta_\alpha，\Beta_\beta\}${Bα​，Bβ​}下的矩阵 $A$A;
• 求出齐次线性方程组 $Ax=0$Ax=0的基础解析： $x_1,x_2,...,x_r$x1​,x2​,...,xr​
• 则 $\Beta_\alpha x_1,\Beta_\alpha x_2,...,\Beta_\alpha x_r$Bα​x1​,Bα​x2​,...,Bα​xr​为 $N(T)$N(T)的基。

2）求值空间 $R(T)$R(T)的基：

• 先求出基 $\Beta_\alpha$Bα​中向量变换后的像 $T\alpha_1,T\alpha_2,..,T\alpha_n$Tα1​,Tα2​,..,Tαn​的极大线性无关组即为 $R(T)的基。$R(T)的基。

例子：