一文吃透时间复杂度和空间复杂度

学习数据结构和算法的第一步

时间复杂度

最多见的时间复杂度有哪几种

• O(1)：Constant Complexity 常数复杂度
• O(log n)：Logarithmic ComPlexity 对数复杂度
• O(n)：Linear ComPlexity 线性时间复杂度
• O(n^2)：N square ComPlexity 平方
• O(n^3)：N cubic ComPlexity 立方
• O(2^n)：Exponential Growth 指数
• O(n!)：Factorial 阶乘

分析时间复杂度的时候是不考虑前边的系数的，好比说O(1)的话，并不表明它的复杂度是1，也能够是二、三、4...,只要是常数次的，都用O(1)表示

如何来看一段代码的时间复杂度？

最经常使用的方式就是直接看这段代码，它根据n的不一样状况会运行多少次

O(1)
$n=100000;
echo 'hello';

O(?)
$n=100000;
echo 'hello1';
echo 'hello2';
echo 'hello3';

第一段代码，无论n是多少，都只执行一次，因此它的时间复杂度就是O(1)。第二个其实也同理，咱们不关心系数是多少。虽然第二段代码会执行3次echo输出，可是无论n是多少，它都只执行3次，所以它的时间复杂度也是常数复杂度，也就是O(1)

在看下边两段代码：

O(n)
for($i = 1; $i <= $n; $i++) {
    echo 'hello';
}

O(n^2)
for($i = 1; $i <= $n; $i++) {
    for($j = 1; $j <= $n; $j++) {
        echo 'hello';
    }
}

这两段代码都是随着n的不一样，它执行的次数也在发生变化，第一段代码执行的次数和n是线性关系的，因此它的时间复杂度是O(n)。

第二段代码是一个嵌套循环，当n为100的状况下，里边的输出语句就会执行10000次，所以它的时间复杂度就是O(n^2)。若是第二段代码中的循环不是嵌套的，而是并列的，那么它的时间复杂度应该是O(2n)，由于前边的常数系数咱们不关注，所以它的时间复杂度就是O(n)

O(log n)
for($i = 1; $i <= $n; $i = $i*2) {
    echo 'hello';
}

O(k^2)

fib($n) {
    if ($n < 2) {
        return $n;
    }
    
    return fib($n-1) + fib($n-2);
}

第一段代码，当n=4时，循环执行2次，因此循环内部执行的次数和n的关系为log2(n)，所以时间复杂度为对数复杂度O(logn)。第二段是一个Fibonacci(斐波拉契)数列，这里是用了递归的这种形式，这就牵扯到了递归程序在执行的时候，如何计算它的时间复杂度，它的答案是k^n，k是一个常数，是一个指数级的，因此简单的经过递归的方式求Fibonacci数列是很是慢的，它是指数级的时间复杂度。具体指数级的时间复杂度是怎么获得的，后边会详细说明。下边看一下各类时间复杂度的曲线

从这张图中能够看到，当n比较小的时候，在10之内的话，不一样的时间复杂度其实都差很少。可是若是当n继续扩大，指数级的增加是很是快的。所以，当咱们在写程序的时候，若是能优化时间复杂度，好比说从2^n降到n^2的话，从这个曲线来看，当n较大的时候，获得的收益是很是高的。所以这也告诉咱们，在平时开发业务代码的时候，必定要对本身的时间和空间复杂度有所了解，并且是养成习惯，写完代码以后，下意识的分析出这段程序的时间和空间复杂度。

从图中能够看到，若是你的时间复杂度写砸了的话，其实带给公司的机器或者说资源的损耗，随着n的增大的话，是成百上千的增长，而若是你能简化的话，对公司来讲是节约不少成本的

对于不一样的程序，在写法当中完成一样的目标，它可能会致使时间复杂度的不同。下边看一个简单的例题

从1加到2一直加到n，求它的和

小学学数学的时候，你们都知道了有两种方法，方法一的话用程序暴力求解的话，就是从1循环到n累加。这个是一层循环，n为多少，就执行多少次累加，因此它的时间复杂度就是O(n)

$sum = 0;
for ($i=1; $i <=$n; $i++) {
    $sum += $i;
}

方法二就是使用一个数学的求和公式：

y = n*(n+1)/2

用这个公式，发现程序就只有一行了，因此它的时间复杂度就是O(1)了。因此能够看到，程序的不一样方法，最后获得的结果虽然是同样的，可是它的时间复杂度很不同

对于递归这种，如何分析时间复杂度？

递归的话，关键就是要了解它的递归过程，总共执行了递归语句多少次。若是是循环的话，很好理解，n次的循环就执行了n次。那么递归的话，其实它是层层嵌套，其实不少时候，咱们就是把递归它的执行顺序，画出一个树形结构，称之为它的递归状态的递归树。之前边的求Fibonacci(斐波拉契)数列的第n项为例

Fib：0,1,1,2,3,5,8,13,21...

F(n) = F(n-1)+F(n-2)

我以前面试的时候遇到过这么一道题，写的是最最简单的用递归的方式实现

fib($n) {
    if($n < 2) {
        retuen $n;
    }
    
    return fib($n-1)+fib($n-2);
}

前边有说到它的时间复杂度是O(k^n)，那么怎么获得的，能够分析一下，假设此时n取6，要计算Fib(6)，就看这段代码如何执行

因此，若是想计算F(6)就引出两个分支，F(5)和F(4)，至少多出了两次运算

若是要计算F(5)可同理获得，须要结算F(4)和F(3)。若是要计算F(4)可同理获得，须要结算F(3)和F(2)。这里就能够看到两个现象：

• 每多展开一层的话，运行的节点数就是上边一层的两倍，第一层只有1个节点，第二层有2个节点，第三层就有4个节点，再下一层就是8个节点。因此它每一层的话，它的节点数，也就是执行次数，是成指数增加的。因而可知，到n的时候，它就执行了2^n次
• 第二个能够观察到，有重复的节点出如今了执行的树里边，好比图中的F(4)和F(3)。若是将这个树继续展开，会发现F(4)、F(3)、F(2)都会被计算了不少次

正是由于有这么多大量冗余的计算，致使求6个数的Fibonacci数的话，就变成了2^6次方这么一个时间复杂度。所以在面试中遇到这类题，尽可能别用这种方式写，不然怕是直接凉凉了。能够加一个缓存，把这些中间结果可以缓存下来（用数组或哈希存起来，有重复计算的数值，再从里边找），或者直接用一个循环来写

主定理

介绍一个叫主定理的东西，这个定理为何重要，就是由于这个主定理的话，其实它是用来解决全部递归的函数，怎么来计算它的时间复杂度。主定理自己的话，数学上来证实相对比较复杂（关于主定理能够参考维基百科：https://zh.wikipedia.org/wiki...）

也就是说，任何一个分治或者递归的函数，均可以算出它的时间复杂度，怎么算就是经过这个主定理。自己比较复杂的话，那怎样化简为实际可用的办法，其实关键就是这四种，通常记住就能够了

通常在各类递归的情形的话，有上边这四种情形，是在面试和平时工做中会用上

二分查找(Binary search)：通常发生在一个数列自己有序的时候，要在有序的数列中找到目标数，因此它每次都一分为二，只查一边，这样的话，最后它的时间复杂度是O(logn)

二叉树遍历(Binary tree traversal)：若是是二叉树遍历的话，它的时间复杂度为O(n)。由于经过主定理能够知道，它每次要一分为二，可是每次一分为二以后，每一边它是相同的时间复杂度。最后它的递推公式就变成了图中T(n)=2T(n/2)+O(1)这样。最后根据这个主定理就能够推出它的运行时间为O(n)。固然这里也有一个简化的思考方式，就是二叉树的遍历的话，会每个节点都访问一次，且仅访问一次，因此它的时间复杂度就是O(n)

二维矩阵(Optimal sorted matrix search)：在一个排好序的二维矩阵中进行二分查找，这个时候也是经过主定理能够得出时间复杂度是O(n)，记住就能够了

归并排序(merge sort)：全部排序最优的办法就是nlogn，归并排序的时间复杂度就是O(nlogn)

常见的关于时间复杂度的面试题

二叉树的遍历-前序、中序、后序：时间复杂度是多少？

答案是：O(n)，这里的n表明二叉树里边树的节点的总数，不论是哪一种方式遍历，每一个节点都有且仅访问一次，因此它的复杂度是线性于二叉树的节点总数，也就是O(n)

图的遍历：时间复杂度是多少？

答案：O(n)，图中的每个节点也是有且仅访问一次，所以时间复杂度也是O(n)，n为图中的节点总数

搜索算法：DFS(深度优先)、BFS(广度优先)时间复杂度是多少？

答案：O(n)，后边的文章会详细介绍这两种算法(n为搜索空间中的节点总数)

二分查找：时间复杂度是多少？

答案：O(logn)

空间复杂度

空间复杂度和时间复杂度的状况其实相似，可是它更加的简单。用最简单的方式来分析便可。主要有两个原则：

若是你的代码中开了数组，那么数组的长度基本上就是你的空间复杂度。好比你开了一个一维的数组，那么你的空间复杂度就是O(n)，若是开了一个二维的数组，数组长度是n^2，那么空间复杂度基本上就是n^2

若是是有递归的话，那么它递归最深的深度，就是你空间复杂度的最大值。若是你的程序里边递归中又开了数组，那么空间复杂度就是二者的最大值

在快速变化的技术中寻找不变，才是一个技术人的核心竞争力。知行合一，理论结合实践