【时间序列】AR-MA-ARMA-ARIMA是什么？

目录

• 1 概述
• 2 平稳时间序列分析
• 2.1 AR（autoregression）
• 2.2 MA（moving average）
• 2.3 ARMA（autoregression moving average）
• 2.4 平稳序列建模
• 3 非平稳时间序列分析
• 3.1 差分
• 3.2 ARIMA

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1 概述

传统的时间序列分析能够分为平稳时间序列分析和非平稳时间序列分析。

对于平稳时间序列，分析方法主要有AR（autoregression）、MA（moving average），以及他们俩的结合ARMA（autoregression moving average）。

对于非平稳时间序列，咱们主要经过差分的方式来让先让序列变得平稳，而后再使用平稳时间序列分析的方法。好比，先差分平稳后，使用ARMA，也就是非平稳时间序列分析中的ARIMA（autoregression integrated moving average）方法。

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2 平稳时间序列分析

2.1 AR（autoregression）

AR 模型，也叫作p 阶自回归模型。

$x_{t} = \alpha_{1} x_{t - 1} + \alpha_{2} x_{t - 2} + .... \alpha_{p} x_{t - p} + \varepsilon_{t}$

自相关系数：拖尾性、指数衰减。
偏自相关系数：截尾性。

2.2 MA（moving average）

MA 模型，也叫作q 阶移动平均。

$x_{t} = \varepsilon_{t} +\mu - \theta_{1} x_{t - 1} - \theta_{2} x_{t - 2} - .... \theta_{q} x_{t - q}$

当 $\mu = 0$ 时，模型称为中心化MA(q) 模型，对非中心化模型只须要作一个简单的位移 $y_{t} = x_{t} - \mu$ ，就能够转化为中心化MA(q) 模型。

自相关系数：q 阶截尾
偏自相关系数：拖尾性。

2.3 ARMA（autoregression moving average）

自回归移动平均模型。

$x_{t} = \phi_{t} +\mu + \phi_{1} x_{t - 1} + \phi_{2} x_{t - 2} + ....+ \phi_{p} x_{t - p} + \varepsilon_{t} - \theta_{1} \varepsilon_{t-1} -...- \theta_{q} \varepsilon_{t-q}$

$p$ 和 $q$ 是模型的自回归阶数和移动平均阶数； $\phi$ 和 $\theta$ 是不为零的待定系数； $\varepsilon$ 独立的偏差项； $x_{i}$ 是平稳、正态、零均值的时间序列。

以股票市场为例，让咱们直观理解一下ARMA 模型的做用。AR(p ) 模型视图解释股票市场的动量和均值回归效应（市场参与者效应）。MA(q) 模型试图捕捉冲击效应，这些冲击效应能够看成白噪声。这些冲击效应是由一些之外的时间致使的，好比战争、意外收益、袭击等。所以，ARMA 模型视图同时捕捉这两个方面的信息。

模型	自相关系数	偏自相关系数
AR（p）	拖尾	p 阶截尾
MA（q）	q 阶截尾	拖尾
ARMA（p，q）	拖尾	拖尾

2.4 平稳序列建模

1. 求出观察序列的自相关系数和偏相关系数
2. 根据样本的ACF 和PACF 选择阶数适当的模型进行拟合
3. 估计模型中未知参数的值
4. 检验模型的有效性，若是模型通不过检验，转向步骤2，从新选择模型再拟合
5. 模型优化。若是模型经过拟合，仍然转向步骤2，充分考虑各类可能，创建多个拟合模型，从中选择最优模型
6. 利用拟合模型，预测序列的将来走势

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3 非平稳时间序列分析

3.1 差分

1. 序列蕴含显著的线性趋势，1 阶差分就能够实现趋势平稳
2. 序列蕴含曲线趋势，一般低阶（2 阶或3 阶）差分就能够提取出曲线趋势的影响
3. 序列蕴含固定周期的序列，则进行步长为周期长度的差分运算，一般能够很好的提取出周期信息

3.2 ARIMA

ARIMA（autoregression integrated moving average）模型的是之就是差分运算和ARMA 模型的组合。这说明任何非平稳序列若是能经过适当阶数的车分时线差分后平稳，就能够对差分后序列进行ARMA 模型拟合。ARMA 模型的分析方法已经很是成熟，意味着对查分平稳序列的分析也将是很是成熟的。

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参考资料：
《应用时间序列分析》
https://medium.com/auquan/time-series-analysis-for-finance-arma-models-21695e14c999