(1-cosx)/(x^2)从负无穷到正无穷的积分怎么求？

时间 2019-11-15

标签 cosx 无穷积分怎么繁體版

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(1-cosx)/(x^2)从负无穷到正无穷的积分怎么求？ spa

这道题须要先进行简单地变形，而后利用帕塞瓦尔定理，再计算结果。

1.简单变形：

原式= $2\int_{-\infty }^{\infty} \frac{sin^{2}\frac{x}{2} }{x^{2}} dx$

令,有

……= $\int_{-\infty }^{\infty} \frac{sin^{2}t }{t^{2}} dt=\int_{-\infty }^{\infty} (\frac{sint }{t})^{2} dt=\int_{-\infty }^{\infty} Sa^{2}(t) dt$ ;

2.帕塞瓦尔等式

$\int_{-\infty}^{\infty} f^{2}(t)dt=\frac{1}{2\pi } \int_{-\infty}^{\infty} \left| F(j\omega ) \right|^{2} d\omega$

又 $Sa(t)\leftrightarrow \pi g_{2}(\omega )$

故原式= $\frac{\pi }{2} \int_{-\infty}^{\infty} g_{2}^{2}(\omega )d\omega$ .

3.计算结果

$g_{2}(\omega )$ 在 $\left| \omega \right| <1$ 时有非零值1，则易知原式= $\pi$ 。
orm