【图论】拓扑排序

时间 2021-04-14

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前言

在正文开始前，咱们先来了解一下有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)算法

以下图就是一个DAG图，DAG图是咱们讨论拓扑排序的基础。jsp

AOV网：数据在顶点能够理解为面向对象
AOE网：数据在边上，能够理解为面向过程！

拓扑排序（Topological Order），不少人据说过，可是不了解的一种算法。或许不少人只知道它是图论的一种排序，至于干什么的不清楚。又或许不少人可能还会认为它是一种啥排序。学习

而实质上它只是将DAG图的顶点排成一个线性序列，获得一个顶点的全序集合。其排序的顺序依据就是节点的指向关系。好比前言的DAG图：优化

那么最后获得的节点的线性序列结果,也必定要知足上面的指向顺序。spa

每个节点都拥有入度（有多少点导向它，也就是开始它有多少前提）和出度（它导向多少点，也就是它是多少其余节点开始的前提）。例如节点5的入度为3和4，出度为7。设计

拓扑排序的结果不是惟一的，只要符合上面的条件，那么它就是拓扑序列，好比1 2 4 3 6 5 7 9和2 1 3 4 5 6 7 9，这两个结果都是可行的。code

官方一点的定义：将有向图中的节点以线性方式进行排序。即对于任何链接自节点u到节点v的有向边uv，在最后的排序结果中，节点u老是在节点v的前面。

看了上面关于拓扑排序的概念若是还以为十分抽象的话，那么不妨考虑一个很是很是经典的例子——选课。对象

假设我很是想学习一门《jsp入门》的课程，可是在修这么课程以前，咱们必需要学习一些基础课程，好比《JAVA语言程序设计》，《HTML指南》等等。那么这个制定选修课程顺序的过程，实际上就是一个拓扑排序的过程，每门课程至关于有向图中的一个顶点，而链接顶点之间的有向边就是课程学习的前后关系。排序

只不过这个过程不是那么复杂，从而很天然的在咱们的大脑中完成了。将这个过程以算法的形式描述出来的结果，就是拓扑排序。递归

能够看到，上图中的学习顺序，就是拓扑序列，其不止一个结果。

拓扑排序算法在工程学中十分重要。

节点成环的图，没法被拓扑排序，由于这在工程上自己没有意义，好比A——>B——>C——>A，那么这个工程永远没法被开始。

拓扑排序的最优时间复杂度是O(m+n),其中m和n是DAG图中节点数和边数。由于拓扑排序至少要对DAG图的节点和边进行一次完整的遍历。

拓扑排序的最优空间复杂度是O(m+n),其中m和n是DAG图中节点数和边数。咱们通常使用邻接表来存储DAG图，所以空间复杂度是O(m+n)。

广度优先搜索法的思路很简单：

以下图

若是有时候，咱们只须要知道某个DAG图是否能够拓扑排序，而不须要真正获得拓扑排序后的结果，那么能够不须要结果集列表，只须要统计被删除的节点的数量便可，若是该数量等于DAG图的节点数，那么DAG图能够被拓扑排序。

深度优先搜索法是广度优先搜索法的逆向思路，它的步骤以下：

选取图中任意一个节点A，将其状态标记为“搜索中”
寻找节点A的邻接点（沿着箭头指向寻找相邻的节点）
1. 若是A存在邻接点
  1. 若是A的邻接点中存在状态为“搜索中”的邻接点，那么表示DAG图有环路，不可拓扑排序。
  2. 不然，那么任意选择一个状态为“未搜索”的邻接点B，使用递归对B重复作1和2操做，注意此时B的邻接点判断不包含来路（也就是A节点）。等到A的全部邻接点都被搜索到，递归回溯回A节点的时候，那么A节点也会被标记为“已搜索”，并压入结果栈。
2. 若是A不存在邻接点，那么将节点A的状态改成“已完成”，而且将其压入一个结果集的栈中。
A节点及其相邻节点都搜索完毕后，若是还有未搜索的节点，那么任意选取一个节点当作出发点，继续重复1,2,3步骤。
直到全部的节点都被搜索并压入栈，那么此时结果栈中，从栈顶到栈底的顺序，就是拓扑排序的顺序。

若是有时候，咱们只须要知道某个DAG图是否能够拓扑排序，而不须要真正获得拓扑排序后的结果，那么能够不须要结果栈，只须要判断整个深度优先搜索过程，没有发生“搜索中”节点的相邻节点（不包含来路的节点）也是“搜索中”就行。