图论-拓扑排序详解

拓扑排序（topsort）详解

这篇随笔就信息学奥林匹克竞赛中图论的一个知识点——拓扑排序进行讲解。拓扑排序的内容比较基础，只要求读者学习过并了解信息学中图的相关定义和一些专业名词，可是拓扑排序的变形题目比较多，但愿读者在看完本随笔后认真体会练习，掌握拓扑排序。

上课！

拓扑排序的定义

顾名思义，这是一种排序，确切地说，是一种图上排序，在一张有向无环图（注解：有向无环图即不少参考书和题解中所说的DAG）上进行排序，把其中的全部节点排成一个序列，使得图中的任意一对有边相连的节点（u,v）u要出如今v前。

因此我再次强调，拓扑排序只能用在有向无环图中！！

这样的线性序列咱们称之为拓扑序。

注意，拓扑序不惟一！这个地方不明白的请本身画图理解（或者参考下面的那棵树）。

拓扑排序的实现原理

在讲解图的拓扑排序以前，咱们能够用一棵树来加深对拓扑排序的理解（由于树是绝对没有环）。

咱们随意地定义一棵有向树（以下图），若是咱们想获得它的拓扑序，那会很简单，只须要先把根节点8号放进队列中，而后再放8号的任意一个儿子节点，继续此操做。直到节点全放进去为止。

咱们会发现，问放进去的是任意的一个子节点，因此咱们说拓扑序是不惟一的（在绝大多数状况下，你要非跟我抬杠说假如只有一条链，我也没办法）。

拓扑排序的实现

讲完了实现原理，咱们来进行拓扑排序的代码实现，根据上面的原理，咱们会发现，咱们要保证拓扑序列的正确性，只须要把图中的入度为0的节点先放进拓扑序，而后把这个点和它全部的出边所有删掉，这样就还会出现一些入度为0的点，咱们继续重复以上操做。

有细心的小伙伴会发现这个和算法中的宽搜很类似，没错，所谓宽搜和深搜，都是基于对树与图的深度/宽度优先遍历而定义的，因此拓扑排序的实现其实就是借助了宽搜的思想。

上模板：

void topsort()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(rudu[j]==0)
            {
                x=j;
                top[++cnt]=j;
                rudu[j]--;
                break;
            }
        }
        for(int j=head[x];j;j=nxt[j])
            rudu[j]--;
    }
}

以上代码的top数组存拓扑序列，使用的是链式前向星存图并遍历。比较好理解，可是时间复杂度比较低。（因此仅供理解）

因此咱们用C++STL来实现拓扑排序，这样会快不少。

模板：

void topsort()
{
    queue<int> q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(rudu[i]==0)
            q.push(i);
    while(q.empty())
    {
        int x=q.front();
        q.pop();
        top[++cnt]=x;
        for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
        {
            int y=to[i];
            rudu[y]--;
            if(rudu[y]==0)
                q.push(y);
        }
    }
}

其实也很好理解啦...

注意，以上代码是针对于已经保证图是DAG的状况下而出现的，假如咱们没有题目中DAG的保证，就要额外地判这个图是否是DAG，即不少题目中要求的“无解”状况。

怎么判断呢？

学到这里，我以为你应该想到，若是最后获得的拓扑序列的长度等于节点总数，那么这个图就是DAG，不然就不是。

因此咱们最后进行判断。

（你也可使用STL中的vector容器）

代码：

if(cnt==n)
    //DAG操做
else
    //非DAG操做

拓扑排序的用途及一些技巧

拓扑排序的用途是解决一些依赖关系的题，通常来说没有图论的基本要素（告诉你几个点，一眼就看出来这是一道图论题%%%），因此，我认为作拓扑排序题的难点在于如何创建一个和题意相符的图（建图坑死爹）。因此美其名曰拓扑排序是图论中最简单的内容，其实它的相关题目都颇有思惟含量，因此强烈建议各位同窗多刷题多刷题。

因为拓扑排序不惟一，因此有些坑爹题目要求拓扑序列的一些内容，好比按字典序等等。

这时咱们把本来的队列拓扑排序换成优先队列拓扑排序。

注意，优先队列不能提速，不要觉得找到了一份更好的模板，必定要读题~~！！

除了定义方式有点怪异其余的跟队列同样。

priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >q;
//取队首的时候须要变成q.top()；

下课！！祝同窗们AK IOI！！