洛谷p1006 传纸条 三维解法

原题目以下 原地址https://www.luogu.com.cn/problem/P1006

 

题目描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同窗，他们在一块儿总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同窗安排作成一个 m 行 n 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，所以，他们就没法直接交谈了。幸运的是，他们能够经过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同窗传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标 (1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 (m,n)。从小渊传到小轩的纸条只能够向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只能够向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊但愿给小轩传递一张纸条，同时但愿小轩给他回复。班里每一个同窗均可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说若是此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情须要注意，全班每一个同窗愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 0 表示），能够用一个 [0,100] 内的天然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩但愿尽量找好心程度高的同窗来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同窗的好心程度之和最大。如今，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

[0,100][0,100] 内的天然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩但愿尽量找好心程度高的同窗来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同窗的好心程度之和最大。如今，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入格式

 

第一行有两个用空格隔开的整数 m 和 n，表示班里有 m 行 n 列。

接下来的 m 行是一个 m×n 的矩阵，矩阵中第 i 行 j 列的整数表示坐在第 i 行 j 列的学生的好心程度。每行的 n 个整数之间用空格隔开。

m \times nm×n 的矩阵，矩阵中第 ii 行 jj 列的整数表示坐在第 ii 行 jj 列的学生的好心程度。每行的 nn 个整数之间用空格隔开。

输出格式

输出文件共一行一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

输入输出样例

  输入

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

输出

34

注：

1<=m,n<=50

 

以上为题目内容，已标明出处，若有侵权请联系我删除

思路：

 

能够看出纸条的传递有以下特色：

1.传过去传回来是两条路，可是事实上回来的路程仍然能够看做另外一段“去程”，没有区别，因此为了简便看做在一个矩阵中找两条从左上角到右下角的路径

2.每人只帮一次，也就是两条路径不重合，且因为两条路的方向只有“右”和“下”，那么咱们即可以想象出这两条路径它们的特色：一条在“左下”一条在“右上”，互不交叉。

 

 

 

因此显然咱们不能够搜出好心值最大的一条路以后再搜出第二大的另外一条，由于不交叉的性质会使得第二大的路无合法存在或者具备片面性。

而后根据数据范围 n， m <= 50，能够尝试动态规划的方式。

 

开始动态规划：

因为以前已提到不能把两条路分割开来看待，因此咱们须要让这两条路“同时推动”。

那么须要找到表示每一个状态的方法，考虑到每一个点都是一对坐标“x， y”，因此走到某个点的最大好心值能够用F[x][y]表示

而后有两条路径，同时推动时，每一步都会走到两个点，因此每一步均可以用F[x1][y1][x2][y2]表示当两条路推动到（x1 ， y1）与（x2， y2）点时的最大好心值

显然，这样的话，在边界以内，每一个状态F[x1][y1][x2][y2]由F[x1 - 1][y1][x2 - 1][y2], F[x1 - 1][y1][x2][y2 + 1], F[x1][y1 - 1][x2 - 1][y2], F[x1][y1 - 1][x2][y2 - 1]四个先前的状态转移而来，同时要考虑两路不交叉的特性，因此当上一个状态中的（x1 ， y1）与（x2， y2）重合时不要加入计算。最后显然，F[n - 1][m][n][m - 1]就是咱们须要的答案。

 

复杂度分析

这样最大所需的存储空间是int * 50的四次幂 也就是6250000 * 4字节 == 25000000B == 25M，符合范围要求

时间复杂度是O（m * m * n * n）是6250000接近1e7，此方法是能够经过此题的，可是若是常数处理不当可能会有问题。并且若是题中的n ，m范围若扩大到200的话，此方法便行不通了。

 

核心优化

显然降维是首要任务，首先咱们能够发现，四维解法中，因为两条路同时推动，有一些状态是根本不可能存在的，除了（x1 ， y1）与（x2， y2）重合的状态，还有好比F[1][2][3][1]，显然（1 ， 3）与（4， 1）分别须要一步与两步才能走获得，根本不可能来表示一个状态。另外，能够发现，因为不交叉，因此下面一条路的下方的点都不多是上面的那条路的通过的点。

这样便发现了大量的不存在的状态

咱们从条路同时推动时，到达的两点之间的关系来考虑：

首先上面的那条路的起点必然在（2， 1），下面的起点则在（1， 2），这两点在同一条左下到右上的斜线上

而过程当中，方向只有“右”和“下”，显然咱们能够发现，对一条路来讲，它的下一步，老是会走到同一条斜线上（如图）

 

 

 

那么显然，两条路的下一步确定也会处于同一条左下到右上的斜线上。

而咱们知道，在本题坐标系中，这样的一条斜线上，x + y 等于一个常数，且对于不一样的在此方向的斜线来讲，这个常数是不一样的

 

那么也就是说，

　　x1 + y1 == x2 +  y2

关系找到了。

这样咱们就能够开始降维了，由于每一步两点会处于同一条左下到右上的斜线上，因此能够用一个维度来表示如今推动到了哪一条斜线上，令C = x + y

同时，咱们知道，与这条斜线垂直方向的斜线上，x - y的值也是一个相似的常数，因此对于目前推动到的这条直线，咱们能够在上面用x - y的值来表明一条路在此“左下-右上”方向斜线上的位置

因此，另外两个维度用此点所在的“左上-右下”方向的斜线的”x - y”值表示就能够了，同时为了防止出现负数，咱们让y - x 加 n，令D = n + x - y

同时为了简便，在读入好心值时，咱们就把这些值从x - y坐标转化为“C - D“坐标

因此显然：

F[C][D1][D2] = max(F[C - 1][D1 + 1][D2  - 1], F[C - 1][D1 - 1][D2 - 1], F[C - 1][D1 + 1][D2 + 1], F[C - 1][D1 + 1][x2 + 1]) + W[C][D1] + W[C][D2]; 同时要注意D1 < D2 恒成立，同时忽略上一步两点重合的状况就能够了

同时，在同一条“左下-右上”斜线上时，咱们循环中的D值应该是递加、递减2的

显然，F[m + n - 1][n + 1][n - 1]即为咱们要求的结果

 

最后

相信看到这个数组以后咱们就能够想到了，C这一维数组空间，彻底是能够去掉的，由于相邻的两层状态所占空间不冲突，然后面的状态只须要上一层的状态来转移，正好覆盖掉上上层状态完成更替，因此，用F[D1][D2]就能够了，因此最终结果是F[n + 1][n - 1]

复杂度分析

这样，每一维最大为100，所需空间是int * 100 * 100 = 10000B * 4 = 40KB，空间大大减小

时间复杂度最大时小于O（100 / 2 * 100 / 2 * （m + n）） 即小于250000，远小于限制

AC代码：

 

#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <iostream>
using namespace std; int abss(int a) { return a < 0 ? -a : a; } int n, m; int aa[55][55] = { 0 }; int bb[105][105] = { 0 }; int ff[105][105]; int main() { cin >> m >> n; for (int i = 1; i <= m; ++i) { for (int j = 1; j <= n; ++j) { cin >> aa[i][j]; bb[i + j][m + (j - i)] = aa[i][j];//加m防止出现负数下标 } } ff[m - 1][m + 1] = bb[3][m - 1] + bb[3][m + 1]; for (int i = 4; i < n + m; ++i) { for (int j = abss(i - 2 - m); j < m + n - 1 - abss(n - i + 1); j += 2) { for (int k = m + n - 1 - abss(n - i + 1); k > j; k -= 2) { ff[j][k] = ff[j - 1][k + 1] + bb[i][j] + bb[i][k]; if (j + 1 < k - 1) { ff[j][k] = max(ff[j][k], ff[j + 1][k - 1] + bb[i][j] + bb[i][k]); } if (j + 1 < m + n - 1 - abss(n - i + 2)) { ff[j][k] = max(ff[j][k], ff[j + 1][k + 1] + bb[i][j] + bb[i][k]); } ff[j][k] = max(ff[j][k], ff[j - 1][k - 1] + bb[i][j] + bb[i][k]); } } } printf("%d\n", ff[n - 1][n + 1]); return 0; }

 

 本题从四维时间/四维空间 降为三维时间/二维空间的关键，是找到不存在的无用状态，并利用方向限制带来的坐标之间的关系，最终将x-y坐标进行转换，从斜线的角度去思考矩阵

 

30\%30% 的数据，1 \le m,n \le 101≤m,n≤10； 对于 100\%100% 的数据知足：1 \le m,n \le 501≤m,n≤5030\%30% 的数据，1 \le m,n \le 101≤m,n≤10； 对于 100\%100% 的数据知足：1 \le m,n \le 501≤m,n≤50