梯度提高树(GBDT)原理小结

在集成学习之Adaboost算法原理小结中，咱们对Boosting家族的Adaboost算法作了总结，本文就对Boosting家族中另外一个重要的算法梯度提高树(Gradient Boosting Decison Tree, 如下简称GBDT)作一个总结。GBDT有不少简称，有GBT（Gradient Boosting Tree）, GTB（Gradient Tree Boosting ）， GBRT（Gradient Boosting Regression Tree）, MART(Multiple Additive Regression Tree)，其实都是指的同一种算法，本文统一简称GBDT。GBDT在BAT大厂中也有普遍的应用，假如要选择3个最重要的机器学习算法的话，我的认为GBDT应该占一席之地。

1、GBDT概述

　　　　GBDT也是集成学习Boosting家族的成员，可是却和传统的Adaboost有很大的不一样。回顾下Adaboost，咱们是利用前一轮迭代弱学习器的偏差率来更新训练集的权重，这样一轮轮的迭代下去。GBDT也是迭代，使用了前向分布算法，可是弱学习器限定了只能使用CART回归树模型，同时迭代思路和Adaboost也有所不一样。

　　　　在GBDT的迭代中，假设咱们前一轮迭代获得的强学习器是\(f_{t-1}(x)\), 损失函数是\(L(y, f_{t-1}(x))\), 咱们本轮迭代的目标是找到一个CART回归树模型的弱学习器\(h_t(x)\)，让本轮的损失函数\(L(y, f_{t}(x) =L(y, f_{t-1}(x)+ h_t(x))\)最小。也就是说，本轮迭代找到决策树，要让样本的损失尽可能变得更小。

　　　　GBDT的思想能够用一个通俗的例子解释，假若有我的30岁，咱们首先用20岁去拟合，发现损失有10岁，这时咱们用6岁去拟合剩下的损失，发现差距还有4岁，第三轮咱们用3岁拟合剩下的差距，差距就只有一岁了。若是咱们的迭代轮数尚未完，能够继续迭代下面，每一轮迭代，拟合的岁数偏差都会减少。

　　　　从上面的例子看这个思想仍是蛮简单的，可是有个问题是这个损失的拟合很差度量，损失函数各类各样，怎么找到一种通用的拟合方法呢？

2、GBDT的负梯度拟合

　　　　在上一节中，咱们介绍了GBDT的基本思路，可是没有解决损失函数拟合方法的问题。针对这个问题，大牛Freidman提出了用损失函数的负梯度来拟合本轮损失的近似值，进而拟合一个CART回归树。第t轮的第i个样本的损失函数的负梯度表示为
\[ r_{ti} = -\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f(x) = f_{t-1}\;\; (x)} \]

　　　　利用\((x_i,r_{ti})\;\; (i=1,2,..m)\),咱们能够拟合一颗CART回归树，获得了第t颗回归树，其对应的叶节点区域\(R_{tj}, j =1,2,..., J\)。其中J为叶子节点的个数。

　　　　针对每个叶子节点里的样本，咱们求出使损失函数最小，也就是拟合叶子节点最好的的输出值\(c_{tj}\)以下：
\[ c_{tj} = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{x_i \in R_{tj}} L(y_i,f_{t-1}(x_i) +c) \]

　　　　这样咱们就获得了本轮的决策树拟合函数以下：
\[ h_t(x) = \sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj}) \]

　　　　从而本轮最终获得的强学习器的表达式以下：
\[ f_{t}(x) = f_{t-1}(x) + \sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj})  \]

　　　　经过损失函数的负梯度来拟合，咱们找到了一种通用的拟合损失偏差的办法，这样无轮是分类问题仍是回归问题，咱们经过其损失函数的负梯度的拟合，就能够用GBDT来解决咱们的分类回归问题。区别仅仅在于损失函数不一样致使的负梯度不一样而已。

3、 3. GBDT回归算法

　　　　好了，有了上面的思路，下面咱们总结下GBDT的回归算法。为何没有加上分类算法一块儿？那是由于分类算法的输出是不连续的类别值，须要一些处理才能使用负梯度，咱们在下一节讲。

　　　　输入是训练集样本\(T=\{(x_,y_1),(x_2,y_2), ...(x_m,y_m)\}\)， 最大迭代次数T, 损失函数L。

　　　　输出是强学习器f(x)

　　　　1) 初始化弱学习器
\[ f_0(x) = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{i=1}^{m}L(y_i, c) \]

　　　　2) 对迭代轮数t=1,2,...T有：

　　　　　　a)对样本i=1,2，...m，计算负梯度
\[ r_{ti} = -\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f(x) = f_{t-1}\;\; (x)} \]

　　　　　　b)利用\((x_i,r_{ti})\;\; (i=1,2,..m)\), 拟合一颗CART回归树,获得第t颗回归树，其对应的叶子节点区域为\(R_{tj}, j =1,2,..., J\)。其中J为回归树t的叶子节点的个数。

　　　　　　c) 对叶子区域j =1,2,..J,计算最佳拟合值
\[ c_{tj} = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{x_i \in R_{tj}} L(y_i,f_{t-1}(x_i) +c) \]

　　　　　　d) 更新强学习器
\[ f_{t}(x) = f_{t-1}(x) + \sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj})  \]

　　　　3) 获得强学习器f(x)的表达式
\[ f(x) = f_T(x) =f_0(x) + \sum\limits_{t=1}^{T}\sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj}) \]

4、GBDT分类算法

　　　　这里咱们再看看GBDT分类算法，GBDT的分类算法从思想上和GBDT的回归算法没有区别，可是因为样本输出不是连续的值，而是离散的类别，致使咱们没法直接从输出类别去拟合类别输出的偏差。

　　　　为了解决这个问题，主要有两个方法，一个是用指数损失函数，此时GBDT退化为Adaboost算法。另外一种方法是用相似于逻辑回归的对数似然损失函数的方法。也就是说，咱们用的是类别的预测几率值和真实几率值的差来拟合损失。本文仅讨论用对数似然损失函数的GBDT分类。而对于对数似然损失函数，咱们又有二元分类和多元分类的区别。

4.1 二元GBDT分类算法

　　　　对于二元GBDT，若是用相似于逻辑回归的对数似然损失函数，则损失函数为：
\[ L(y, f(x)) = log(1+ exp(-yf(x))) \]

　　　　其中\(y \in\{-1, +1\}\)。则此时的负梯度偏差为
\[ r_{ti} = -\bigg[\frac{\partial L(y, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f(x) = f_{t-1}\;\; (x)} = y_i/(1+exp(y_if(x_i))) \]

　　　　对于生成的决策树，咱们各个叶子节点的最佳负梯度拟合值为
\[ c_{tj} = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{x_i \in R_{tj}} log(1+exp(-y_i(f_{t-1}(x_i) +c))) \]

　　　　因为上式比较难优化，咱们通常使用近似值代替
\[ c_{tj} = \sum\limits_{x_i \in R_{tj}}r_{ti}\bigg /  \sum\limits_{x_i \in R_{tj}}|r_{ti}|(1-|r_{ti}|) \]

　　　　除了负梯度计算和叶子节点的最佳负梯度拟合的线性搜索，二元GBDT分类和GBDT回归算法过程相同。

4.2 多元GBDT分类算法

　　　　多元GBDT要比二元GBDT复杂一些，对应的是多元逻辑回归和二元逻辑回归的复杂度差异。假设类别数为K，则此时咱们的对数似然损失函数为：
\[ L(y, f(x)) = -  \sum\limits_{k=1}^{K}y_klog\;p_k(x)  \]

　　　　其中若是样本输出类别为k，则\(y_k=1\)。第k类的几率\(p_k(x) \)的表达式为：
\[ p_k(x) = exp(f_k(x)) \bigg / \sum\limits_{l=1}^{K} exp(f_l(x))  \]

　　　　集合上两式，咱们能够计算出第\(t\)轮的第\(i\)个样本对应类别\(l\)的负梯度偏差为
\[ r_{til} = -\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f_k(x) = f_{l, t-1}\;\; (x)} = y_{il} - p_{l, t-1}(x_i) \]

　　　　观察上式能够看出，其实这里的偏差就是样本\(i\)对应类别\(l\)的真实几率和\(t-1\)轮预测几率的差值。

　　　　对于生成的决策树，咱们各个叶子节点的最佳负梯度拟合值为
\[ c_{tjl} = \underbrace{arg\; min}_{c_{jl}}\sum\limits_{i=0}^{m}\sum\limits_{k=1}^{K} L(y_k, f_{t-1, l}(x) + \sum\limits_{j=0}^{J}c_{jl} I(x_i \in R_{tjl})) \]

　　　　因为上式比较难优化，咱们通常使用近似值代替
\[ c_{tjl} =  \frac{K-1}{K} \; \frac{\sum\limits_{x_i \in R_{tjl}}r_{til}}{\sum\limits_{x_i \in R_{til}}|r_{til}|(1-|r_{til}|)} \]

　　　　除了负梯度计算和叶子节点的最佳负梯度拟合的线性搜索，多元GBDT分类和二元GBDT分类以及GBDT回归算法过程相同。

5、GBDT经常使用损失函数

　　　　这里咱们再对经常使用的GBDT损失函数作一个总结。

　　　　对于分类算法，其损失函数通常有对数损失函数和指数损失函数两种:

　　　　a) 若是是指数损失函数，则损失函数表达式为
\[ L(y, f(x)) = exp(-yf(x)) \]

　　　　其负梯度计算和叶子节点的最佳负梯度拟合参见Adaboost原理篇。

　　　　b) 若是是对数损失函数，分为二元分类和多元分类两种，参见4.1节和4.2节。

　　　　

　　　　对于回归算法，经常使用损失函数有以下4种:

　　　　a)均方差，这个是最多见的回归损失函数了
\[ L(y, f(x)) =(y-f(x))^2 \]

　　　　b)绝对损失，这个损失函数也很常见
\[ L(y, f(x)) =|y-f(x)| \]

　　　　　　对应负梯度偏差为：
\[ sign(y_i-f(x_i)) \]

　　　　c)Huber损失，它是均方差和绝对损失的折衷产物，对于远离中心的异常点，采用绝对损失，而中心附近的点采用均方差。这个界限通常用分位数点度量。损失函数以下：

\[ L(y, f(x))= \begin{cases} \frac{1}{2}(y-f(x))^2& {|y-f(x)| \leq \delta}\\ \delta(|y-f(x)| - \frac{\delta}{2})& {|y-f(x)| >; \delta} \end{cases} \]

　　　　对应的负梯度偏差为：

\[ r(y_i, f(x_i))= \begin{cases} y_i-f(x_i)& {|y_i-f(x_i)| \leq \delta}\\ \delta sign(y_i-f(x_i))& {|y_i-f(x_i)| >; \delta} \end{cases} \]

　　　　d) 分位数损失。它对应的是分位数回归的损失函数，表达式为
\[ L(y, f(x)) =\sum\limits_{y \geq f(x)}\theta|y - f(x)| + \sum\limits_{y <; f(x)}(1-\theta)|y - f(x)|  \]

　　　　　　其中\(\theta\)为分位数，须要咱们在回归前指定。对应的负梯度偏差为：

\[ r(y_i, f(x_i))= \begin{cases} \theta&amp; { y_i \geq f(x_i)}\\ \theta - 1 &amp; {y_i <; f(x_i) } \end{cases} \]

　　　　对于Huber损失和分位数损失，主要用于健壮回归，也就是减小异常点对损失函数的影响。

6、GBDT的正则化

　　　　和Adaboost同样，咱们也须要对GBDT进行正则化，防止过拟合。GBDT的正则化主要有三种方式。

　　　　第一种是和Adaboost相似的正则化项，即步长(learning rate)。定义为\(\nu\),对于前面的弱学习器的迭代
\[ f_{k}(x) = f_{k-1}(x) + h_k(x) \]

　　　　若是咱们加上了正则化项，则有
\[ f_{k}(x) = f_{k-1}(x) + \nu h_k(x) \]

　　　　\(\nu\)的取值范围为$0 <; \nu \leq 1 \(。对于一样的训练集学习效果，较小的\)\nu$意味着咱们须要更多的弱学习器的迭代次数。一般咱们用步长和迭代最大次数一块儿来决定算法的拟合效果。

 

　　　　第二种正则化的方式是经过子采样比例（subsample）。取值为(0,1]。注意这里的子采样和随机森林不同，随机森林使用的是放回抽样，而这里是不放回抽样。若是取值为1，则所有样本都使用，等于没有使用子采样。若是取值小于1，则只有一部分样本会去作GBDT的决策树拟合。选择小于1的比例能够减小方差，即防止过拟合，可是会增长样本拟合的误差，所以取值不能过低。推荐在[0.5, 0.8]之间。

　　　　使用了子采样的GBDT有时也称做随机梯度提高树(Stochastic Gradient Boosting Tree, SGBT)。因为使用了子采样，程序能够经过采样分发到不一样的任务去作boosting的迭代过程，最后造成新树，从而减小弱学习器难以并行学习的弱点。

 

　　　　第三种是对于弱学习器即CART回归树进行正则化剪枝。在决策树原理篇里咱们已经讲过，这里就不重复了。

7、GBDT小结　

　　　　GBDT终于讲完了，GDBT自己并不复杂，不过要吃透的话须要对集成学习的原理，决策树原理和各类损失函树有必定的了解。因为GBDT的卓越性能，只要是研究机器学习都应该掌握这个算法，包括背后的原理和应用调参方法。目前GBDT的算法比较好的库是xgboost。固然scikit-learn也能够。

　　　　最后总结下GBDT的优缺点。

　　　　GBDT主要的优势有：

　　　　1) 能够灵活处理各类类型的数据，包括连续值和离散值。

　　　　2) 在相对少的调参时间状况下，预测的准确率也能够比较高。这个是相对SVM来讲的。

　　　　3）使用一些健壮的损失函数，对异常值的鲁棒性很是强。好比 Huber损失函数和Quantile损失函数。

　　　　GBDT的主要缺点有：

　　　　1)因为弱学习器之间存在依赖关系，难以并行训练数据。不过能够经过自采样的SGBT来达到部分并行。

 

　　　　以上就是GBDT的原理总结，后面会讲GBDT的scikit-learn调参，敬请期待。

 

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