2012百度之星第二场初始题-1

问题描述：

    给定n个正整数， 要求从这些正整数中 取出若干个， 对他们进行xor(异或)计算， 寻找可能产生的最大值。

    xor运算有点相似于加法运算，可是它操做的是二进制的数字； 例如 101010 xor 111000 = 010010

    ok解决任何问题，首先找出一些实际的例子， 例如在 集合 {5, 3} 中寻找；

    首先写成2进制的形式：

    1001  = 5

    0011  = 3

    有点相似于一个现行方程组矩阵的样子;

    而咱们寻找的解是什么呢？ 是这个方程组的xor 下的线性变化 产生的最大值 ？

    为何？ 

        xor 知足交换律 和 结合律；

        线性变化，就是在不一样的方程之间使用xor操做, 用产生的结果替换 原来的方程， 这个新的方程组和原来的方程组等价；

             为何等价？

                      A xor B = C   =>  C xor B = A   C xor A = B  

                      原来的方程组能够逆向获得， 因此等价

   怎么获得最大值？

            采用高斯消元法 能够获得一个等价方程组， 例如集合{101010,  111000,  110101,  001111} 

            消元以后的结果是:

                100101
                010000
                001101
                000010

             这个方程组的每一个方程的维度是6， 可是整个方程组的度 是 4； 即六维空间里面的一个4维的对象；

             这4个方程任意xor的最大值是就是这四个方程所有xor的结果：

            111010

            为何？ 好比第四列为0， 为了使第四列为1， 必须舍弃 第1 或 3 方程， 显然都不行；

             而若是使6列为1， 须要舍弃 1 或者 3方程， 显然也不行；

             而若是舍弃某个 方程，也不合适， 会致使某一位变成0

             而由 xor的交换律 和结合律 能够知道： 全部组合的最后化简的结果 每一个方程最多出现一次 由于 A xor A = 0   0 xor B = B

如何证实这四个方程组的最大值就是 原来集合中的最大值呢？ 

             由xor的计算的可逆性，咱们能够知道：

             由于在集合 {101010, 111000, 110101, 001111} 中的任意元素均可以由最后咱们计算的四个方程表示；

             因此集合中任意元素组合的xor结果均可以用 最后计算的4个方程表示。

             而这4个方程xor的结果 最大值是 111010  

             

上面的例子：

           这个例子是方程的个数小于 维度的一个例子；  能够有3种状况：

           个数 小于 维度；  独立方程的个数 就是原方程组方程的个数；

           个数 等于 维度；   独立方程的个数 等于 维度

           个数 大于 维度；   独立方程的个数 等于 维度

而要计算次大值：

           能够从化简结果中舍弃一个最小的方程； 

           为何？

                  舍弃最小的方程， 将会致使 某一位 变成0， 而这一位是独立的； 其它位不会变化；

                  若是要使其它位变化， 

                                           要么这个位自己是独立的， 那么 就比舍弃最小的要大；

                                           要么这个位依赖于其它位， 那么要么依赖于最小的独立位， 要么依赖于其它的独立位， 这样产生的结果要么等价于舍弃最小的方程，要么等价于舍弃其它方程， 都不合适

产生结果的实际个数：

           4个方程的 任意组合 产生的结果的个数 是 2^4 = 16 (包含一个空集合）; 也就是4个方程的任意组合结果有16个

           对于一个32位二进制数， 最多有 2^32 种结果， 也就是32位二进制数自己的空间；