[Reinforcement Learning] Model-Free Control

上篇总结了 Model-Free Predict 问题及方法，本文内容介绍 Model-Free Control 方法，即 "Optimise the value function of an unknown MDP"。

在这里说明下，Model-Free Predict/Control 不只适用于 Model-Free 的状况，其一样适用于 MDP 已知的问题：

• MDP model is unknown, but experience can be sampled.
• MDP model is known, but is too big to use, except by samples.

在正式介绍 Model-Free Control 方法以前，咱们先介绍下 On-policy Learning 及 Off-policy Learning。

On-policy Learning vs. Off-policy Learning

On-policy Learning：

• "Learn on the job"
• Learn about policy \(\pi\) from experience sampled from \(\pi\)（即采样的策略与学习的策略一致）

Off-policy Learning：

• "Look over someone's shoulder"
• Learn about policy \(\pi\) from experience sampled from \(\mu\)（即采样的策略与学习的策略不一致）

On-Policy Monte-Carlo Learning

Generalized Policy Iteration

具体的 Control 方法，在《动态规划》一文中咱们提到了 Model-based 下的广义策略迭代 GPI 框架，那在 Model-Free 状况下是否一样适用呢？
以下图为 Model-based 下的广义策略迭代 GPI 框架，主要分两部分：策略评估及基于 Greedy 策略的策略提高。

Model-Free 策略评估

在《Model-Free Predict》中咱们分别介绍了两种 Model-Free 的策略评估方法：MC 和 TD。咱们先讨论使用 MC 状况下的 Model-Free 策略评估。
如上图GPI框架所示：

• 基于 \(V(s)\) 的贪婪策略提高须要 MDP 已知：
  \[\pi'(s) = \arg\max_{a\in A}\Bigl(R_{s}^{a}+P_{ss'}^{a}V(s')\Bigr)\]
• 基于 \(Q(s, a)\) 的贪婪策略提高不须要 MDP 已知，即 Model-Free：
  \[\pi'(s) = \arg\max_{a\in A}Q(s, a)\]

所以 Model-Free 下须要对 \(Q(s, a)\) 策略评估，整个GPI策略迭代也要基于 \(Q(s, a)\)。

Model-Free 策略提高

肯定了策略评估的对象，那接下来要考虑的就是如何基于策略评估的结果 \(Q(s, a)\) 进行策略提高。
因为 Model-Free 的策略评估基于对经验的 samples（即评估的 \(q(s, a)\) 存在 bias），所以咱们在这里不采用纯粹的 greedy 策略，防止由于策略评估的误差致使整个策略迭代进入局部最优，而是采用具备 explore 功能的 \(\epsilon\)-greedy 算法：
\[ \pi(a|s) = \begin{cases} &\frac{\epsilon}{m} + 1 - \epsilon, &\text{if } a^*=\arg\max_{a\in A}Q(s, a)\\ &\frac{\epsilon}{m}, &\text{otherwise} \end{cases} \]

所以，咱们肯定了 Model-Free 下的 Monto-Carlo Control：

GLIE

先直接贴下David的课件，GLIE 介绍以下：

对于 \(\epsilon\)-greedy 算法而言，若是 \(\epsilon\) 随着迭代次数逐步减为0，那么 \(\epsilon\)-greedy 是 GLIE，即：
\[\epsilon_{k} = \frac{1}{k}\]

GLIE Monto-Carlo Control

GLIE Monto-Carlo Control：

• 对于 episode 中的每一个状态 \(S_{t}\) 和动做 \(A_t\)：
  \[ N(S_t, A_t) ← N(S_t, A_t) + 1 \\ Q(S_t, A_t) ← Q(S_t, A_t) + \frac{1}{N(S_t, A_t)}(G_t - Q(S_t, A_t)) \]
• 基于新的动做价值函数提高策略：
  \[ \epsilon ← \frac{1}{k}\\ \pi ← \epsilon\text{-greedy}(Q) \]

定理：GLIE Monto-Carlo Control 收敛到最优的动做价值函数，即：\(Q(s, a) → q_*(s, a)\)。

On-Policy Temporal-Difference Learning

Sarsa

咱们以前总结过 TD 相对 MC 的优点：

• 低方差
• Online
• 非完整序列

那么一个很天然的想法就是在整个控制闭环中用 TD 代替 MC：

• 使用 TD 来计算 \(Q(S, A)\)
• 仍然使用 \(\epsilon\)-greedy 策略提高
• 每个 step 进行更新

经过上述改变就使得 On-Policy 的蒙特卡洛方法变成了著名的 Sarsa。

• 更新动做价值函数
  
  
  
  
• Control
  
  
  
  

Sarsa算法的伪代码以下：

Sarsa(λ)

n-step Sarsa returns 能够表示以下：
\(n=1\) 时：\(q_{t}^{(1)} = R_{t+1} + \gamma Q(S_{t+1})\)
\(n=2\) 时：\(q_{t}^{(2)} = R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \gamma^2 Q(S_{t+2})\)
...
\(n=\infty\) 时：\(q_{t}^{\infty} = R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + ... + \gamma^{T-1} R_T\)
所以，n-step return \(q_{t}^{(n)} = R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + ... + \gamma^{n}Q(S_{t+n})\)

n-step Sarsa 更新公式：
\[Q(S_t, A_t) ← Q(S_t, A_t) + \alpha (q_t^{(n)} - Q(S_t, A_t))\]

具体的 Sarsa(λ) 算法伪代码以下：

其中 \(E(s, a)\) 为资格迹。

下图为 Sarsa(λ) 用于 Gridworld 例子的示意图：

Off-Policy Learning

Off-Policy Learning 的特色是评估目标策略 \(\pi(a|s)\) 来计算 \(v_{\pi}(s)\) 或者 \(q_{\pi}(s, a)\)，可是跟随行为策略 \(\{S_1, A_1, R_2, ..., S_T\}\sim\mu(a|s)\)。

Off-Policy Learning 有什么意义？

• Learn from observing humans or other agents
• Re-use experience generated from old policies \(\pi_1, \pi_2, ..., \pi_{t-1}\)
• Learn about optimal policy while following exploratory policy
• Learn about multiple policies while following one policy

重要性采样

重要性采样的目的是：Estimate the expectation of a different distribution。
\[ \begin{align} E_{X\sim P}[f(X)] &= \sum P(X)f(X)\\ &= \sum Q(X)\frac{P(X)}{Q(X)}f(X)\\ &= E_{X\sim Q}[\frac{P(X)}{Q(X)}f(X)] \end{align} \]

Off-Policy MC 重要性采样

使用策略 \(\pi\) 产生的 return 来评估 \(\mu\)：
\[G_t^{\pi/\mu} = \frac{\pi(A_t|S_t)}{\mu(A_t|S_t)} \frac{\pi(A_{t+1}|S_{t+1})}{\mu(A_{t+1}|S_{t+1})}...\frac{\pi(A_T|S_T)}{\mu(A_T|S_T)}G_t\]

朝着正确的 return 方向去更新价值：
\[V(S_t) ← V(S_t) + \alpha\Bigl(\color{Red}{G_t^{\pi/\mu}}-V(S_t)\Bigr)\]

须要注意两点：

• Cannot use if \(\mu\) is zero when \(\pi\) is non-zero
• 重要性采样会显著性地提高方差

Off-Policy TD 重要性采样

TD 是单步的，因此使用策略 \(\pi\) 产生的 TD targets 来评估 \(\mu\)：
\[V(S_t) ← V(S_t) + \alpha\Bigl(\frac{\pi(A_t|S_t)}{\mu(A_t|S_t)}(R_{t+1}+\gamma V(S_{t+1}))-V(S_t)\Bigr)\]

• 方差比MC版本的重要性采样低不少

Q-Learning

前面分别介绍了对价值函数 \(V(s)\) 进行 off-policy 学习，如今咱们讨论如何对动做价值函数 \(Q(s, a)\) 进行 off-policy 学习：

• 不须要重要性采样
• 使用行为策略选出下一步的动做：\(A_{t+1}\sim\mu(·|S_t)\)
• 可是仍须要考虑另外一个后继动做：\(A'\sim\pi(·|S_t)\)
• 朝着另外一个后继动做的价值更新 \(Q(S_t, A_t)\)：
  \[Q(S_t, A_t) ← Q(S_t, A_t) + \alpha\Bigl(R_{t+1}+\gamma Q(S_{t+1}, A')-Q(S_t, A_t)\Bigr)\]

讨论完对动做价值函数的学习，咱们接着看如何经过 Q-Learning 进行 Control：

• 行为策略和目标策略均改进
• 目标策略 \(\pi\) 以greedy方式改进：
  \[\pi(S_t) = \arg\max_{a'}Q(S_{t+1}, a')\]
• 行为策略 \(\mu\) 以 \(\epsilon\)-greedy 方式改进
• Q-Learning target：
  \[ \begin{align} &R_{t+1}+\gamma Q(S_{t+1}, A')\\ =&R_{t+1}+\gamma Q\Bigl(S_{t+1}, \arg\max_{a'}Q(S_{t+1}, a')\Bigr)\\ =&R_{t+1}+\max_{a'}\gamma Q(S_{t+1}, a') \end{align} \]

Q-Learning 的 backup tree 以下所示：

关于 Q-Learning 的结论：

Q-learning control converges to the optimal action-value function, \(Q(s, a)→q_*(s, a)\)

Q-Learning 算法具体的伪代码以下：

对比 Sarsa 与 Q-Learning 能够发现两个最重要的区别：

• TD target 公式不一样
• Q-Learning 中下一步的动做从行为策略中选出，而不是目标策略

DP vs. TD

二者的区别见下表：

Reference

[1] Reinforcement Learning: An Introduction, Richard S. Sutton and Andrew G. Barto, 2018
[2] David Silver's Homepage