数据结构之图的基本概念

一 图的定义

定义：图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，一般表示为：G(V,E)，其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。

　　在图中须要注意的是：

　　（1）线性表中咱们把数据元素叫元素，树中将数据元素叫结点，在图中数据元素，咱们则称之为顶点（Vertex）。

　　（2）线性表能够没有元素，称为空表；树中能够没有节点，称为空树；可是，在图中不容许没有顶点（有穷非空性）。

　　（3）线性表中的各元素是线性关系，树中的各元素是层次关系，而图中各顶点的关系是用边来表示（边集能够为空）。

二 图的基本概念

（1）无向图

若是图中任意两个顶点之间的边都是无向边（简而言之就是没有方向的边），则称该图为无向图（Undirected graphs）。

（2）有向图

若是图中任意两个顶点之间的边都是有向边（简而言之就是有方向的边），则称该图为有向图（Directed graphs）。

（3）彻底图

①无向彻底图：在无向图中，若是任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向彻底图。（含有n个顶点的无向彻底图有(n×(n-1))/2条边）以下图所示：

②有向彻底图：在有向图中，若是任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向彻底图。（含有n个顶点的有向彻底图有n×(n-1)条边）以下图所示：

PS：当一个图接近彻底图时，则称它为稠密图（Dense Graph），而当一个图含有较少的边时，则称它为稀疏图（Spare Graph）。

（4）顶点的度

　　顶点Vi的度（Degree）是指在图中与Vi相关联的边的条数。对于有向图来讲，有入度（In-degree）和出度（Out-degree）之分，有向图顶点的度等于该顶点的入度和出度之和。

（5）邻接

①若无向图中的两个顶点V1和V2存在一条边(V1,V2)，则称顶点V1和V2邻接（Adjacent）；

②如有向图中存在一条边<V3,V2>，则称顶点V3与顶点V2邻接，且是V3邻接到V2或V2邻接直V3；

PS：无向图中的边使用小括号“()”表示，而有向图中的边使用尖括号“<>”表示。

（6）路径

　　在无向图中，若从顶点Vi出发有一组边可到达顶点Vj，则称顶点Vi到顶点Vj的顶点序列为从顶点Vi到顶点Vj的路径（Path）。

（7）连通

　　若从Vi到Vj有路径可通，则称顶点Vi和顶点Vj是连通（Connected）的。

（8）权

有些图的边或弧具备与它相关的数字，这种与图的边或弧相关的数叫作权（Weight）。

3、图的存储结构

图的存储结构除了要存储图中的各个顶点自己的信息以外，还要存储顶点与顶点之间的关系，所以，图的结构也比较复杂。经常使用的图的存储结构有邻接矩阵和邻接表等。

3.1 邻接矩阵表示法

图的邻接矩阵（Adjacency Matrix）存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。

咱们能够设置两个数组，顶点数组为vertex[4]={v0,v1,v2,v3}，边数组arc[4][4]为上图右边这样的一个矩阵。对于矩阵的主对角线的值，即arc[0][0]、arc[1][1]、arc[2][2]、arc[3][3]，全为0是由于不存在顶点的边。

不足：因为存在n个顶点的图须要n*n个数组元素进行存储，当图为稀疏图时，使用邻接矩阵存储方法将会出现大量0元素，这会形成极大的空间浪费。这时，能够考虑使用邻接表表示法来存储图中的数据。

3.2 邻接表表示法

　首先，回忆咱们在线性表时谈到，顺序存储结构就存在预先分配内存可能形成存储空间浪费的问题，因而引出了链式存储的结构。一样的，咱们也能够考虑对边或弧使用链式存储的方式来避免空间浪费的问题。

邻接表由表头节点和表节点两部分组成，图中每一个顶点均对应一个存储在数组中的表头节点。若是这个表头节点所对应的顶点存在邻接节点，则把邻接节点依次存放于表头节点所指向的单向链表中。

（1）无向图：下图所示的就是一个无向图的邻接表结构。

从上图中咱们知道，顶点表的各个结点由data和firstedge两个域表示，data是数据域，存储顶点的信息，firstedge是指针域，指向边表的第一个结点，即此顶点的第一个邻接点。边表结点由adjvex和next两个域组成。adjvex是邻接点域，存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标，next则存储指向边表中下一个结点的指针。例如：v1顶点与v0、v2互为邻接点，则在v1的边表中，adjvex分别为v0的0和v2的2。

PS：对于无向图来讲，使用邻接表进行存储也会出现数据冗余的现象。例如上图中，顶点V0所指向的链表中存在一个指向顶点V3的同事，顶点V3所指向的链表中也会存在一个指向V0的顶点。

（2）有向图：如果有向图，邻接表结构是相似的，但要注意的是有向图因为有方向的。所以，有向图的邻接表分为出边表和入边表（又称逆邻接表），出边表的表节点存放的是从表头节点出发的有向边所指的尾节点；入边表的表节点存放的则是指向表头节点的某个顶点，以下图所示。

（3）带权图：对于带权值的网图，能够在边表结点定义中再增长一个weight的数据域，存储权值信息便可，以下图所示。