水壶问题（向水壶中倒z升水） Water and Jug Problem

问题：

You are given two jugs with capacities x and y litres. There is an infinite amount of water supply available. You need to determine whether it is possible to measure exactly z litres using these two jugs.

If z liters of water is measurable, you must have z liters of water contained within one or both buckets by the end.

Operations allowed:

• Fill any of the jugs completely with water.
• Empty any of the jugs.
• Pour water from one jug into another till the other jug is completely full or the first jug itself is empty.

Example 1: (From the famous "Die Hard" example)

Input: x = 3, y = 5, z = 4
Output: True

Example 2:

Input: x = 2, y = 6, z = 5
Output: False

解决：

【题意】对于example1，有一个容量为3升和一个容量为5升的水罐，问咱们如何准确的称出4升的水。先把5升水罐装满水，倒到3升水罐里，这时5升水罐里还有2升水，而后把3升水罐里的水都倒掉，把5升水罐中的2升水倒入3升水罐中，这时候把5升水罐装满，而后往此时有2升水的3升水罐里倒水，这样5升水罐倒出1升后还剩4升即为所求。

https://discuss.leetcode.com/topic/49751/clear-explanation-of-why-using-gcd

① 这道问题其实能够转换为有一个很大的容器，咱们有两个杯子，容量分别为x和y，问咱们经过用两个杯子往里倒水，和往出舀水，问能不能使容器中的水恰好为z升。那么咱们能够用一个公式来表达：

z = m * x + n * y

其中m，n为舀水和倒水的次数，正数表示往里舀水，负数表示往外倒水。

题目中的例子能够写成: 4 = (-2) * 3 + 2 * 5，即3升的水罐往外倒了两次水，5升水罐往里舀了两次水。那么问题就变成了对于任意给定的x,y,z，存不存在m和n使得上面的等式成立。

根据裴蜀定理，ax + by = d的解为 d = gcd(x, y)，那么咱们只要只要z % d == 0，上面的等式就有解，因此问题就迎刃而解了，咱们只要看z是否是x和y的最大公约数的倍数就好了，别忘了还有个限制条件x + y >= z，由于x和y不可能称出比它们之和还多的水。

class Solution { //0ms     public boolean canMeasureWater(int x, int y, int z) {         return z == 0 || (x + y >= z && (z % gcd(x,y)) == 0);     }     public int gcd(int x,int y){         return y == 0 ? x : gcd(y,x % y);     } }