人工智能数学基础----矩阵

人工智能数学基础系列文章

• 1. 人工智能数学基础----导数

• 2. 人工智能数学基础----矩阵

• 3. 人工智能数学基础----线性二阶近似
  
  

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今天复习矩阵，做为程序员，矩阵在程序中的应用想必或多或少都接触过，特别是在图像变化算法上的应用。

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1、矩阵

1. 定义

矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最先来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一律念由19世纪英国数学家凯利首先提出。（此定义来自百度百科）

下面经过一个方程组来声明一个矩阵（数学符号在PC上书写真是很麻烦，不知道谁有好用的公式符号书写软件推荐下）：

以上是一个三元一次方程组，根据矩阵的来源定义，有矩阵 A以下图

2. 矩阵的运算

2.1. 矩阵的加法

从上图中咱们能够看出，矩阵 A和矩阵 B相加，它们都是2 x 2的矩阵，相加就是两个矩阵对应的元素值的相加，好比：矩阵 A的一行一列元素3和矩阵 B的一行一列的元素-7相加，获得新的矩阵的一行一列元素-4，以此类推计算出一个新的矩阵。上图中 A+ B计算的结果和 B+ A是同样的，符合加法的交换律。 从新定义两个矩阵 A[2x2]和 B[2x3]：

矩阵 A是2行2列，矩阵 B是2行3列，若是 A+ B，根据上面两个矩阵相加的计算法则，会发现矩阵 B的第三列元素没有办法相加。 因此结论是： 当两个矩阵相加的时候，这两个矩阵的维数（行列个数）必须是相同的，好比要么都是 2x2，要么都是3x3等等。 一样的若是是 A+ B+ C三个或者更多的矩阵的相加计算方式也是同样的。

2.2. 矩阵的减法

上图能够看出，矩阵 A- B的计算就是对应的每一个元素的相减，并且有个规律是： 矩阵 A- B = -( B- A)，同矩阵加法同样，作减法的两个或者多个矩阵的维数（行列个数）必须是同样的，不然没法进行减法运算。

2.3. 矩阵的乘法

有矩阵 A和 B，两个矩阵相乘， A的a11（表示矩阵的第一行第一列元素）、a12 分别和 B的第一列的两个元素相乘后相加，做为新的矩阵的a11元素值。

上图就很清楚的描述了，矩阵乘法的计算规则。

假设有两个矩阵 C和 D，分别是 C· D和 D· C，很明显计算出的结果不相同，因此一般状况下矩阵的乘法是不知足：乘法交换律的，即： C· D≠ D· C

如上图，你会发现也不是任何两个矩阵都可以相乘，只有乘数矩阵A的列数和被乘矩阵B的行数相同的时候，两个矩阵才能相乘。

3. 单位矩阵

在介绍单位矩阵以前，说介绍什么是方阵，顾名思义，方阵就是方的，行数和列数同样的矩阵，好比：

像上图这样，行列同样的矩阵就是方阵，这很直观也很好理解。

单位矩阵，是一直特殊的方阵，它的全部元素由0和1组成，而且对角线的元素为1,其他元素为0，固然一阶的单位矩阵只含有一个元素1：I₁ = [1]。

以上四个方阵都是单位矩阵，分别是 I₂二阶单位矩阵、 I₃三阶单位矩阵、四阶和五阶的单位矩阵。单位矩阵的阶数能够无限扩大，好比n阶的单位矩阵:

单位矩阵有一个特殊重要的性质， I· A = A， A· I = A，这里的矩阵 A是一个和单位矩阵同个维数的方阵，不是方阵没法和单位矩阵相乘，这个性质很容易证实，举个例子就知道了：

反过来 A· I 也等于 A

4. 逆矩阵

如上图，若是一个矩阵可逆，那么就会有性质： A^-1· A= I， I是一个单位矩阵。逆矩阵的求法，如上图所示， 逆矩阵 = 矩阵行列式的倒数值 * 矩阵A 的伴随矩阵。当矩阵 A的行列式若是等于0，即ad - bc = 0，或者 a/c = b/d，那么这个矩阵不存在逆矩阵（行列式的倒数1/| A|没有定义），咱们也称这样的矩阵叫 “奇异矩阵”。

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（未完待续。。。。）

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