剑指offer--剪绳子，动态规划

今日学了思路，待补充

题目：

将长度为n的绳子剪成若干段，并求各段长度乘积的最大值。

思路：

 一、动态规划
    设f(n)表明长度为n的绳子剪成若干段的最大乘积，若是第一刀下去，第一段长度是i，那么剩下的就须要剪n-i，那么f(n)=max{f(i)f(n-i)}。而f(n)的最优解对应着f(i)和f(n-i)的最优解，假如f(i)不是最优解，那么其最优解和f(n-i)乘积确定大于f(n)的最优解，和f(n)达到最优解矛盾，因此f(n)的最优解对应着f(i)和f(n-i)的最优解。首先，剪绳子是最优解问题，其次，大问题包含小问题，而且大问题的最优解包含着小问题的最优解，因此可使用动态规划求解问题，而且从小到大求解，把小问题的最优解记录在数组中，求大问题最优解时就能够直接获取，避免重复计算。
    n<2时，因为每次至少减一次，因此返回0。n=2时，只能剪成两个1，那么返回1。n=3时，能够剪成3个1，或者1和2，那么最大乘积是2。当n>3时，就可使用公式进行求解。
    f(4)=max{f(1)f(3), f(2)f(2)}
    f(5)=max{f(1)f(4), f(2)f(3)}
    ...
    f(n)=max{f(1)f(n-1), f(2)f(n-2), f(3)f(n-3), ..., f(i)(fn-i), ...}
    由于须要保证f(i)f(n-i)不重复，就须要保证i<=n/2，这是一个限制条件，求1～n/2范围内的乘积，获得最大值
 二、贪心算法
    n<2时，返回0；n=2时，返回1；n=3时，返回2
    根据数学计算，当n>=5时，2(n-2)>n，3(n-3)>n，这就是说，将绳子剪成2和(n-2)或者剪成3和(n-3)时，乘积大于不剪的乘积，所以须要把绳子剪成2或者3。而且3(n-3)>=2(n-2)，也就是说，当n>=5时，应该剪尽可能多的3，可使最后的乘积最大。对于长度是n的绳子，咱们能够剪出n/3个3，剩余长度是1或者2，若是余数是1，就能够把1和最后一个3合并成4，那么4剪出两个2获得的乘积是4，比1*3大，所以这种状况下，须要将3的个数减小1，变成两个2；若是余数是2，那么无需作修改。
    能够获得最大的乘积是：3^timesOf3 * 2^timesOf2
    相比动态规划，计算更简便，可是须要必定的数学技巧。
原文：https://blog.csdn.net/upupday19/article/details/79315885

动态规划+贪婪

https://blog.csdn.net/upupday19/article/details/79315885

 1 public class Cut_string {
 2     public static void main(String[] args) {
 3         System.out.println(maxAfterCutting(8));
 4         }
 5     //须要O(n^2)的时间复杂度和O(n)的空间复杂度的动态规划思路
 6     public static int maxAfterCutting(int length) {
 7         if(length<2)
 8             return 0;
 9         if(length==2)
10             return 1;
11         if(length==3)
12             return 2;
13         //子问题的最优解存储在F数组中，数组中第i个元素表示将长度为i的绳子剪成若干段
14         int [] f = new int[length+1];
15         f[0]=0;
16         f[1]=1;
17         f[2]=2;
18         f[3]=3;
19         int result = 0;
20         for(int i = 4;i<=length;++i) {
21             int max = 0;
22             for(int j = 1;j<=i/2;++j) {
23                 int num = f[j]*f[i-j];
24                 if(max<num)
25                     max=num;
26                 f[i] = max;
27             }
28         }
29         result = f[length];
30         return result;    
31     }
32 }

 有待继续学习。