数学分析笔记1：数列的极限

数集的确界

定义1.1 对于数系 $S$
(1) $E\subset S$是一个数集， $r\in S$，若是 $\forall x\in E$, $x\le r$，则称 $E$有上界， $r$是 $E$的上界
(2) $E\subset S$是一个数集， $r\in S$，若是 $\forall x\in E$, $x\ge r$，则称 $E$有下界， $r$是 $E$的下界
(3) $E\subset S$是一个数集，若是 $\exists r\in S$， $r>0$， $\forall x\in E$， $|x|\le r$，则称 $E$是有界集

实际上，由该定义能够很容易的得出

定理1.1 对于数系 $S$，集合 $E\subset S$有界的充要条件是 $E$既有上界又有下界

如今的问题是，咱们但愿从全部上界中取得一个"最小"的上界，从全部下界中取得一个"最大"的下界。如何理解这句话呢？实际上，若是 $r$是 $E$的上界，那么，由传递性能够很容易推出比 $r$大的全部数都是上界，那么天然咱们但愿找尽量小的上界，小到什么程度呢？用通俗的话讲就是比它更小的数再也不是上界，换句话讲，若是要成为这个集合的上界，那么就要比这个"最小"的上界的要大，这就是所谓的"最小"的上界。这个想法在数学上严格的定义就是

定义1.2 对于数系 $S$，集合 $E\subset S$，若存在数 $M\in S$( $m\in S$)，知足：
(1) $M$( $m$)是 $E$的上界（下界）
(2)若存在 $M^{\prime}$( $m^{\prime}$)也是 $E$的上界（下界），则 $M^{\prime}\ge M$( $m^{\prime}\le m$)
则称 $M(m)$是 $E$的上确界(下确界),记为 $M=\sup{(E)}(m=\inf{(E)})$

固然以上定义的(2)是从全部的上界都要比这个上界要大的角度来定义。还能够换个角度来定义，所谓"最小"的上界，还能够从比它小的数都不是上界来定义，那么，"比它小的数都不是上界"这个命题，在数学上如何用形式逻辑的符号表示出来呢？显然，一个数 $r$是集合 $S$的上界，等价于 $\forall x\in E$， $x\le r$，那么它的否命题就是 $\exists x_0\in E$， $x_0>r$，这就是否是上界的定义。据此，以上定义的(2)还可换个表述

定理1.2 对于数系 $S$，集合 $E\subset S$，数 $M\in S$( $m\in S$)， $M(m)$是 $E$的上(下)界，则 $M=\sup{(E)}(m=\inf{(E)})$的充要条件是 $\forall r<M(\forall r>m)$， $\exists x_0 \in E$， $x_0 >r(x_0<r)$

证：
仅证实上确界情形，下确界情形的证实是相似的。
充分性：若是 $\forall r<M$， $\exists x_0 \in E$， $x_0 >r$，假设 $M^{\prime}$是 $E$的上界，反证法，若是 $M^{\prime}<M$，则 $\exists x_0 \in E$， $x_0>M^{\prime}$，按照上界的定义 $M^{\prime}$不是 $E$的上界，所以 $M^{\prime}\ge M$，这样就证得 $M$是上确界。
必要性：若是 $M=\sup{(E)}$，则若是 $\exists r<M$, $\forall x\in E$， $x\le r$，则 $r$是 $E$的上界，且 $r<M$，又与上确界的定义是矛盾的，并且否命题就是 $\forall r<M$, $\exists x_0\in E$， $x_0>r$

是否对任何有上界的集合上确界都存在，有下界的集合下确界都存在呢？答案是要看具体到哪一个数系。在有理数系这个说法是不成立的，举一个简单的例子 $\{x>0:x\in Q,x^2<2\}$，这个数集在有理数系中找不到一个上确界，但毫无疑问是有一个有理数上界的。之因此找不到，是由于有理数系"遗漏"了一些数，至少遗漏了这个集合的上界。所以，咱们就须要更广的数系，就是实数系。实数系是有理数系的扩充，具体的扩充方式能够经过戴德金分割，也可定义无限不循环小数，不论以何种方式，都有

定理1.3(确界定理） 非空有上界（有下界）的实数集必有上确界（下确界）
咱们再规定无上界的集合的上确界为 $+\infty$，无下界的集合的下确界为 $-\infty$，接下来，咱们给出上下确界的一些性质，这些性质来源于数学分析课本的例题，列举以下：

例1.1 A,B是两个非空有上界的实数集，定义 $A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}$，证实： $\sup{(A+B)}=\sup{(A)}+\sup{(B)},\inf{(A+B)}=\inf{(A)}+\inf{(B)}$

证：
仅证实上确界情形，下确界情形的证实是相似的。
$\forall a+b\in A+B$， $a\in A,b\in B$，由上肯定定义(1)，有 $a\le \sup{(A)},b\le \sup{(B)}$。所以， $a+b\le \sup{(A)}+\sup{(B)}$。从而， $\sup{(A)}+\sup{(B)}$是 $A+B$的上界。
再证实 $\sup{(A)}+\sup{(B)}$是 $A+B$的上确界，实际上，对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $a_0\in A$, $a_0>\sup{(A)}-\frac{\varepsilon}{2}$，存在 $b_0\in A$， $b_0>\sup{(B)}-\frac{\varepsilon}{2}$， $a_0+b_0>\sup{(A)}+\sup{(B)}-\varepsilon$，这就证实了 $\sup{(A)}+\sup{(B)}$是 $A+B$的上确界

例1.2设函数 $f(x)$在 $D$上有定义，证实：
(1) $\sup_{x\in D}\{-f(x)\}=-\inf_{x\in D}\{f(x)\}$
(2) $\inf_{x\in D}\{-f(x)\}=-\sup_{x\in D}\{f(x)\}$

证：
仅证实(1),(2)的证实是相似的
记 $m=\inf_{x\in D}\{f(x)\}$， $\forall x\in D$，都有 $f(x)\ge m$，从而 $-f(x)\le -m$，所以， $-m\ge \sup_{x\in D}\{-f(x)\}$。
其次，由上确界的定义(1)，有 $\forall x\in D$， $-f(x)\le \sup_{x\in D}\{-f(x)\}$，从而， $f(x) \ge -\sup_{x\in D}\{-f(x)\}$，所以， $-\sup_{x\in D}\{-f(x)\}\le m$，综上， $m=-\sup_{x\in D}\{-f(x)\}$

例1.3 设 $f(x)$和 $g(x)$都是定义在 $D$上的有界非负函数，证实： $\inf_{x\in D}\{f(x)\}\inf_{x\in D}\{g(x)\}\le \inf_{x\in D}\{f(x)g(x)\}\le \sup_{x\in D}\{f(x)\}\inf_{x\in D}\{g(x)\}$

证：
首先 $\inf_{x\in D}\{f(x)\}\ge 0,\inf_{x\in D}\{g(x)\}\ge 0$， $\forall x\in D$，按下确界的定义，就有 $f(x)g(x)\ge \inf_{x\in D}\{f(x)\}g(x) \ge \inf_{x \in D}\{f(x)\}\inf_{x\in D}\{g(x)\}$因而 $\inf_{x \in D}\{f(x)\}\inf_{x\in D}\{g(x)\}$是 $\{f(x)g(x):x\in D\}$的一个下界，再由下确界的定义，就有 $\inf_{x\in D}\{f(x)g(x)\}\ge \inf_{x \in D}\{f(x)\}\inf_{x\in D}\{g(x)\}$这就证得了不等式的左半边，下面证实不等式的右半边
分类讨论，若是 $\sup_{x\in D}\{f(x)\}=0$，则 $f(x)=0,\forall x\in D$，这样 $f(x)g(x)=0,\forall x\in D$，所以， $\inf_{x\in D}\{f(x)g(x)\}=0$，不等式天然成立
若是 $\sup_{x\in D}\{f(x)\}>0$，首先，由上确界和下确界的定义有 $\inf_{x\in D}\{f(x)g(x)\}\le f(x)g(x)\le \sup_{x\in D}\{f(x)\}g(x) , \forall x\in D$所以， $\forall x\in D$，都有 $g(x)\ge \frac{\inf_{x\in D}\{f(x)g(x)\}}{\sup_{x\in D}\{f(x)\}}$由下确界的定义，有 $\inf_{x\in D}\{g(x)\} \ge \frac{\inf_{x\in D}\{f(x)g(x)\}}{\sup_{x\in D}\{f(x)\}}$移项便可证得结论

例1.4 定义有界函数 $f(x)$在闭区间 $[a,b]$上的振幅为 $\omega_{f}[a,b]=\sup_{x\in [a,b]}f(x)-\inf_{x\in [a,b]}f(x)$证实： $\omega_f[a,b]=\sup_{x^{\prime},x^{\prime\prime}\in[a,b]}|f(x^{\prime})-f(x^{\prime\prime})|$

证：
首先， $\forall x^{\prime},x^{\prime\prime}\in [a,b]$，不妨设 $f(x^{\prime})\ge f(x^{\prime\prime})$， $f(x^\prime)\le \sup_{x\in [a,b]}f(x)$, $f(x^{\prime\prime})\ge \inf_{x\in [a,b]}f(x)$，因而，就有 $|f(x^\prime)-f(x^{\prime\prime})|=f(x^\prime)-f(x^{\prime\prime})\le \sup_{x\in [a,b]}f(x)-\inf_{x\in [a,b]}f(x)$由上确界的定义，就有 $\sup_{x^\prime,x^{\prime\prime}\in [a,b]}|f(x^\prime)-f(x^{\prime\prime})|\le \sup_{x\in [a,b]}f(x)-\inf_{x\in [a,b]}f(x)$对任意的 $\varepsilon>0$， $\exists x^\prime \in [a,b]$， $f(x^\prime)>\sup_{x\in[a,b]}f(x)-\frac{\varepsilon}{2}$, $\exists x^{\prime\prime}\in [a,b]$, $f(x^{\prime\prime})<\inf_{x\in [a,b]}f(x)+\frac{\varepsilon}{2}$，因而 $\sup_{x^\prime,x^{\prime\prime}\in [a,b]}|f(x^\prime)-f(x^{\prime\prime})|\ge f(x^\prime)-f(x^{\prime\prime})>\sup_{x\in [a,b]}f(x)-\inf_{x\in [a,b]}f(x)-\varepsilon$由 $\varepsilon$的任意性，就获得 $\sup_{x^\prime,x^{\prime\prime}\in [a,b]}|f(x^\prime)-f(x^{\prime\prime})|\ge\sup_{x\in [a,b]}f(x)-\inf_{x\in [a,b]}f(x)$综合两个不等式，就有 $\sup_{x^\prime,x^{\prime\prime}\in [a,b]}|f(x^\prime)-f(x^{\prime\prime})|=\sup_{x\in [a,b]}f(x)-\inf_{x\in [a,b]}f(x)$

数列的极限

数列极限的定义与性质

定义1.3 $\{x_n\}$是实数列，若是存在实数 $x$， $\forall \varepsilon>0$，存在正整数 $N$，当 $n\ge{N}$时，都有
$|x_n-x|<\varepsilon$则称 $\{x_n\}$是收敛的， $x$是 $\{x_n\}$的极限，记为 $\lim_{n \to \infty}{x_n}=x$，不然称 $\{x_n\}$是发散的

数列极限有以下的性质
定理1.4（惟一性) 收敛数列 $\{x_n\}$的极限是惟一的

证：
$\lim_{n\to\infty}{x_n}=a$ $\lim_{n\to\infty}{x_n}=b$用反证法证实，若是 $a\neq b$，不失通常性，假设 $a<b$，那么
令 $\varepsilon_0=\frac{b-a}{2}$，存在正整数 $N_1$，当 $n\ge N_1$时，都有 $|x_n-a|<\varepsilon_0$即 $x_n<\frac{b+a}{2}$同理，存在正整数 $N_2$,当 $n\ge N_2$时，都有 $|x_n-b|<\varepsilon_0$即 $x_n>\frac{b+a}{2}$也就是说， $n\ge\max{N_1,N_2}$时，两个不等式矛盾，矛盾产生的缘由是假设了极限是不惟一的，证毕。

另外，收敛序列都有一个共同的特色，就是有界
定理1.5 收敛序列都是有界序列

证：
设 $\{x_n\}$是收敛列，设 $x_n\to x$，令 $\varepsilon_0=1$，存在正整数 $N$，当 $n\ge N$时，都有
$|x_n-x|<\varepsilon_0$
这样，
$x_n\le \max(x_1,\cdots,x_N,|x+1|,|x-1|)$
这就证实了 $\{x_n\}$是有界的，证毕

定理1.6(1)若 $\exists N>0$， $n\ge N$时，都有 $x_n\ge y_n$，而且 $\{x_n\}$和 $\{y_n\}$都是收敛列， $x_n\to x$， $y_n \to y$，则 $x\ge y$（2）若 $\{x_n\}$和 $\{y_n\}$都是收敛列， $x_n \to x$， $y_n\to y$， $x<y$，则存在正整数 $N$， $n\ge{N}$时，都有 $x_n<y_n$

定理1.6的一个推论是极限的保号性，即
推论1.1（极限的保号性）(1)若 $\exists N\ge{1}$， $n\ge N$时，都有 $x_n\ge 0(\le 0)$，而且 $\{x_n\}$收敛，而且 $x_n\to x$则 $x\ge 0(\le 0)$
(2)若是 $x_n\to x$, $x>0(<0)$，则存在正整数 $N$， $n\ge N$时，都有 $x_n>0$

下面咱们来证实定理1.6：

证：
咱们先证实结论（2），再用反证法证实（1），令 $\varepsilon_0=\frac{y-x}{2}$，存在正整数 $N_1$，当 $n\ge N_1$时，都有 $x_n<x+\frac{y-x}{2}=\frac{y+x}{2}$又存在正整数 $N_2$，当 $n\ge N_2$时，都有 $y_n>y-\frac{y-x}{2}=\frac{y+x}{2}$综合两式，当 $n\ge{\max(N_1,N_2)}$时，有
$y_n>\frac{y+x}{2}>x_n$
接下来再来证实（1），若是 $x<y$，由（2），就存在正整数 $N$， $n\ge N$时，有 $x_n<y_n$矛盾，所以， $x\ge y$

下面，咱们能够证实极限的四则运算性质
定理1.7（极限的四则运算）
(1) $x_n\to x$, $y_n\to y$，则 $\{x_n\pm{y_n}\}$也收敛，而且 $x_n\pm{y_n}\to{x\pm{y}}$
(2) $x_n\to x$, $y_n\to y$，则 $\{x_n{y_n}\}$也收敛，而且 $x_n{y_n}\to{x{y}}$
(3) $x_n\to x$, $y_n\to y$， $y_n\neq{0}$，则 $\{\frac{x_n}{y_n}\}$也收敛，而且 $\frac{x_n}{y_n}\to{\frac{x}{y}}$

证:
（1） $\forall \varepsilon >0$， $\exists N_1$， $\forall n\ge{N_1}$，有
$|x_n-x|<\frac{\varepsilon}{2}$
$\exists N_2$， $\forall n\ge{N_2}$，有
$|y_n-y|<\frac{\varepsilon}{2}$
因而，有
$|(x_n\pm y_n)-(x\pm y)|\le (|x_n-x|+|y_n-y|) <\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$
（2）首先，做估计 $|x_n{y_n} - xy|=|x_n{y_n}-x_n{y}+x_n{y}-xy|\le |x_n||y_n-y|+|y||x_n-x|$再由 $\{x_n\}$是收敛列，所以， $\{x_n\}$有界，设 $x_n\le M>0$，这样不等式就能够进一步放大为 $|x_n{y_n}-xy|\le M|y_n-y|+(|y|+1)|x_n-x|$对任意的正数 $\varepsilon>0$，存在正整数 $N_1$，当 $n\ge N_1$时，都有 $|y_n-y|<\frac{\varepsilon}{2M}$又存在正整数 $N_2$，当 $n\ge N_2$时，有 $|x_n-x|<\frac{\varepsilon}{2(|y|+1)}$当 $n\ge\max(N_1,N_2)$时，有
$|x_n{y_n}-xy|<M(\frac{\varepsilon}{2M})+(|y|+1)(\frac{\varepsilon}{2(|y|+1)})=\varepsilon$
(3)咱们先证实 $\frac{1}{y_n}\to{\frac{1}{y}}$:
考察估计式： $|\frac{1}{y_n}-\frac{1}{y}|=|\frac{y-y_n}{y{y_n}}|=\frac{|y_n-y|}{|y||y_n|}$不失通常性，不妨设 $y>0$，令 $\varepsilon_0=\frac{y}{2}$，存在正整数 $N_0$，当 $n\ge N_0$时，有 $y_n-y>-\varepsilon_0$即 $y_n>\frac{y}{2}$从而 $\frac{1}{y_n}<\frac{2}{y}$有 $|\frac{1}{y_n}-\frac{1}{y}|\le{\frac{2|y_n-y|}{y^2}}$对任意的 $\varepsilon>0$，存在正整数 $N_1$， $n\ge N_1$时，有
$|y_n-y|<\frac{y^2\varepsilon}{2}$
再代入到估计式中便可证得结论
再应用(2)的结论便可证得(3)

极限存在的判断方法

定理1.8（夹逼定理） $\{x_n\}$和 $\{y_n\}$收敛到同一个实数 $A$，而且对任意的 $n\ge{1}$，都有 $x_n\le{z_n}\le{y_n}$则 $\lim_{n\to\infty}{z_n}=A$

证：
对任意的正数 $\varepsilon>0$，存在正整数 $N_1$，当 $n\ge N_1$时，都有 $A-\varepsilon<y_n<A+\varepsilon$又存在正整数 $N_2$，当 $n\ge{N_2}$时，都有 $A-\varepsilon<x_n<A+\varepsilon$当 $n\ge{\max(N_1,N_2)}$时，有 $A-\varepsilon<x_n\le{z_n}\le{y_n}<A+\varepsilon$从而 $|z_n-A|<\varepsilon$证毕

例1.5 证实 $\lim_{n\to \infty}{n^{\frac{1}{n}}}=1$

证：
首先， $n^{\frac{1}{n}}\ge{1}$
另外，令 $h_n=n^{\frac{1}{n}}-1$，有 $n=(1+h_n)^n$由二项式定理 $n={1+nh_n+\frac{n(n-1)h_n^2}{2}+\cdots+h_n^n}\ge\frac{n(n-1)h_n^2}{2}$从而 $h_n\le\sqrt{\frac{2}{n-1}}$有 $0\le{h_n}\le{\sqrt{\frac{2}{n-1}}}$再应用夹逼定理，有 $\lim_{n\to \infty}{h_n}=0$

另外一个重要的的极限判断准则是单调收敛定理：
定理1.9 单调上升（降低）有上界（下界）的数列必有极限

证：
设 $\{x_n\}$是单调上升的，而且由上界的，设 $M=\sup_{n\ge{1}}{x_n}$，对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $n_0$知足： $x_{n_0}>M-\varepsilon$当 $n\ge{n_0}$时，有 $M\ge{x_n}\ge{x_{n_0}}>M-\varepsilon$故 $|x_n-M|<\varepsilon$单调降低有下界序列的证实是相似的，这里省略

证实过程也代表了单调序列的极限就是上下确界，下面，咱们证实一个最重要的极限
例1.6 证实 $\{(1+\frac{1}{n})^n\}$单调上升，且有上界

证:
首先证实数列 $\{(1+\frac{1}{n})^n\}$是单调上升的，也就是说 $(1+\frac{1}{n})^n\le{(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}}$两边开 $n+1$次方根，就等价于证实 $(1+\frac{1}{n})^(\frac{n}{n+1})\le{1+\frac{1}{n+1}}$由均值不等式，有 $(1+\frac{1}{n})^(\frac{n}{n+1})\le{\frac{1+n(1+\frac{1}{n})}{n+1}}=1+\frac{1}{n+1}$这就证实了 $\{(1+\frac{1}{n})^n\}$是单调上升的，只须要证实其有上界便可
实际上，由二项式定理，有 $(1+\frac{1}{n})^n=\sum_{k=0}^{n}{\frac{n!}{k!(n-k)!}(\frac{1}{n})^k}\\ =\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}[(1-\frac{1}{n})\cdots(1-\frac{n-k+1}{n})]}\\ \le{\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}}} \le{1+1+\sum_{k=2}^{n}{\frac{1}{k(k-1)}}}\\ =2+1-\frac{1}{n}\le{3}$这就证实 $\{(1+\frac{1}{n})^n\}$有上界

由单调收敛原理， $\{(1+\frac{1}{n})^n\}$有极限，记其极限为 $e$，就称为天然对数

无穷大量和无穷小量

定义1.5 $\{x_n\}$是实数列，若是 $\lim_{n\to \infty}{x_n}=0$，则称 $\{x_n\}$是无穷小量
定理1.7 $\lim_{n\to\infty}{x_n}=x$的充分必要条件是 $\{x_n-x\}$是无穷小量
证实是容易的，这里省略

无穷小量具备以下性质：
定理1.10
(1) $\{x_n\}$和 $\{y_n\}$都是无穷小量，则 $\{x_n\pm y_n\}$也是无穷小量
(2) $\{x_n\}$是无穷小量， $\{y_n\}$是有界数列，则 $\{x_n y_n\}$是无穷小量

证:
(1)由极限的四则运算性质就能够获得
(2)设 $y_n\le{M>0}$，对任意的正数 $\varepsilon>0$，存在正整数 $N$，当 $n\ge N$时，都有
$|x_n|\le\frac{\varepsilon}{M}$，此时，
$|x_n y_n|=|x_n||y_n|\le{|x_n|M}<M\frac{\varepsilon}{M}=\varepsilon$

无穷小量虽然是依托极限定义的，但在不少状况下，无穷小量是一个很是有用的工具，在介绍完无穷小量的阶以后，咱们对这点会有更清晰的认识。无穷大量是无穷小量的一个对立的概念，下面咱们给出一个收敛的无穷的定义。
定义1.6 (1)若是实数列 $\{x_n\}$知足：对任意的正数 $M>0$，都存在正整数 $N$，当 $n\ge N$时，都有 $x_n>M$则记 $\lim_{n\to \infty}{x_n}=+\infty$，称 $\{x_n\}$是正无穷大量
(2)若是实数 $\{x_n\}$知足：对任意的正数 $M>0$，都存在正整数 $N$，当 $n\ge N$时，都有 $x_n<-M$则记 $\lim_{n\to \infty}{x_n}=-\infty$，称 $\{x_n\}$是负无穷大量
(3)若是 $\lim_{n\to\infty}{|x_n|}=+\infty$，则称 $\{x_n\}$是无穷大量

定理1.11 $\{x_n\}$是无穷大量的充分必要条件是 $\{\frac{1}{x_n}\}$是无穷小量

证：
必要性：若是 $\{x_n\}$是无穷大量，那么对任意的正数 $\varepsilon>0$，都存在正整数 $N$，当 $n\ge N$时，都有 $|x_n|>\frac{1}{\varepsilon}$这样， $|\frac{1}{x_n}|<\varepsilon$充分性：若是 $\{\frac{1}{x_n}\}$是无穷小量，对任意的正数 $M>0$，存在正整数 $N$，当 $n\ge N$时，都有 $|\frac{1}{x_n}|<\frac{1}{M}$所以， $|x_n|>M$

也就是说，实际上，无穷大量和无穷大量是互为倒数的关系，因此不少时候，对无穷大量的命题，能够转化成无穷小量的命题来进行证实。
一样地，咱们也能够给出无穷大量的一些运算性质，以下：
定理1.12
(1) $\{x_n\}$是无穷大量， $\{y_n\}$是有界变量，则 $\{x_n\pm y_n\}$是无穷大量
(2) $\{x_n\}$是无穷大量，存在正数 $m>0$及正整数 $N$，当 $n\ge N$时，有 $|y_n|>m$，则 $\{x_n y_n\}$是无穷大量
(3) $\{x_n\}$是正(负)无穷大量， $\{y_n\}$是有界变量，那么 $\{x_n\pm y_n\}$是正(负)无穷大量
(4) $\{x_n\}$是正(负)无穷大量的充分必要条件是 $\{-x_n\}$是负(正)无穷大量
(5) $\{x_n\}$和 $\{y_n\}$是正(负)无穷大量，则 $\{x_n+y_n\}$是正(负)无穷大量
(6) $\{x_n\}$是正无穷大量，存在正数 $m>0$及正整数 $N$，当 $n\ge N$时，都有 $y_n\ge m$，则 $\{x_n y_n\}$也是正无穷大量

证：
(1)设 $|y_n|\le{M>0}$，则考察不等式 $|x_n+y_n|\ge |x_n|-|y_n| \ge |x_n|-M$对任意的正数 $M_2>0$，存在正整数 $N$，当 $n\ge N$时，都有 $|x_n|\ge M_2+M$有 $|x_n+y_n|\ge M_2+M-M=M_2$(2)当 $n\ge N$时，考察不等式 $|x_n y_n|\ge |x_n||y_n|\ge m|x_n|$对任意的正数 $M>0$，存在正整数 $N_1$，当 $n\ge N_1$时，有
$|x_n|\ge \frac{M}{m}$，
从而当 $n\ge\max(N,N_1)$时，有 $|x_n y_n|\ge m\frac{M}{m}=M$(3)(4)(5)(6)的证实是相似的，这里省略

若是咱们把收敛到有限实数和正负无穷视为广义收敛，那么，咱们能够认为，全部的单调序列都是广义收敛的，极限是其对应的确界

无穷小量的比较

咱们知道无穷小量和有界变量的乘积仍是无穷小量，但无穷小量和无穷大量的乘积就不必定是无穷小量或者是无穷大量了。
例1.7 (1) $\lim_{n\to \infty}{n\frac{1}{n}}=1$，这说明无穷大量和无穷小量的乘积可能收敛到有限实数\
(2) $\lim_{n\to \infty}{n^2\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}{n}=+\infty$，无穷大量和无穷小量的乘积可能仍是无穷小量\
(3) $\lim_{n\to\infty}{n\frac{1}{n}sin(\frac{1}{n})}$不存在，无穷大量和无穷小量的乘积还可能不是广义收敛的

由定理1.12，咱们只要无穷大量和无穷小量是互为倒数的关系，若是 $\{x_n\}$和 $\{y_n\}$是两个无穷小量，而且 $y_n\neq 0$，则它们的比值 $\frac{x_n}{y_n}$可能极限存在，可能收敛到正负无穷，也可能不是广义收敛的，这就由无穷小量的阶的概念
定义1.7 $\{x_n\}$和 $\{y_n\}$是两个无穷小量，则
(1)若是 $\frac{x_n}{y_n}\to 0$，则称 $\{x_n\}$是 $\{y_n\}$的高阶无穷小，记为
$x_n=o(y_n)$
(2)若是 $\frac{x_n}{y_n}\to x\neq 0$，则称 $\{x_n\}$是 $\{y_n\}$的同阶无穷小
(3)若是 $\frac{x_n}{y_n}\to 1$，则称 $\{x_n\}$和 $\{y_n\}$是等价无穷小，记为 $x_n \sim y_n$

按照定义，若是 $x_n=o(y_n)$，那么在 $n$足够大时，就有 $x_n<y_n$若是 $\{x_n\}$和 $\{y_n\}$是同阶无穷小，那么，在 $n$足够大时，就能够认为 $x_n\approx x y_n$特别地，若是 $x_n \sim y_n$， $n$足够大时，就能够认为 $x_n \approx y_n$等价无穷小的一个重要做用是在求解某些不定式的极限时，能够替换成相应的等价无穷小，从而简化计算。

数列的上下极限

对于数列 $\{x_n\}$而言，数列的极限不必定存在，然而，数列的上下极限一般是存在的，数列的上下极限是后面分析问题的一个重要的工具。所以本节对数列的上下极限进行详细的介绍。
对于两个实数集 $E_1,E_2$，若是 $E_1\subset E_2$，则有 $\inf(E_2)\le\inf(E_1)\le\sup(E_1)\le\sup(E_2)$实际上，数列收敛等价于随着 $n\to\infty$，数列的振幅趋向于0，那么，怎么表示出"振幅"的概念呢？仿照例\ref{ex1}，能够知道，数列在 $n\to\infty$的过程当中，某个时刻以后的振幅能够表示为 $\omega_n\{x_n\}=\sup_{k\ge n}\{x_k\}-\inf_{k\ge n}\{x_k\}$，从直观上看，应当有结论：若是 $\omega_n\to 0$，就有 $\{x_n\}$收敛的结论，而且这应当是等价。后面咱们将说明这个事实。
给定有界数列 $\{x_n\}$，实际上咱们能够获得两个数列 $\{\sup_{k\ge n}\{x_n\}\},\{\inf_{k\ge n}\{x_n\}\}$，前者是单调递减的，后者是单调上升的。即令 $M_n=\sup_{k\ge n}\{x_n\},m_n=\inf_{k\ge n}\{x_n\}$，就有 $M_1\ge M_2\ge \cdots M_n \ge m_n \ge \cdots \ge m_2 \ge m_1$可见 $\{M_n\}$有下界 $m_1$， $\{m_n\}$有上界 $M_1$，由单调有界收敛原理， $\{M_n\}$和 $\{m_n\}$都收敛，而且 $\lim_{n\to\infty}{M_n}=\inf_{n\ge 1}\sup_{k\ge n}{x_k}$ $\lim_{n\to\infty}{m_n}=\sup_{n\ge 1}\inf_{k\ge n}{x_k}$定义有界数列 $\{x_n\}$的上极限为 $\limsup_{n\to\infty}{x_n}=\inf_{n\ge 1}\sup_{k\ge n}{x_k}$，下极限为 $\liminf_{n\to\infty}{x_n}=\sup_{n\ge 1}\inf_{k\ge n}{x_k}$