数学分析笔记3：函数的极限

函数极限的定义与性质

定义3.1 (1) $f(x)$在 $x_0$的某个去心邻域上有定义，若存在实数 $A$，对任意的 $\varepsilon>0$，存在正数 $\delta>0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$时，都有 $|f(x)-A|<\varepsilon$则称函数 $f(x)$在 $x_0$处极限存在，A是 $f(x)$在 $x_0$处的极限，记为 $\lim_{x\to{x_0}}{f(x)}=A$
(2)若是对任意的正数 $M>0$，存在正数 $\delta>0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$时，有 $f(x)>M(<-M)$则称函数 $f(x)$是 $x_0$处的正(负)无穷大量，记为 $\lim_{x\to{x_0}}{f(x)}=+\infty(-\infty)$
(3)若是 $|f(x)|$是 $x_0$处的正无穷大量，则称 $f(x)$是 $x_0$处的无穷大量

除了定义某个点的极限，还能够定义趋于无穷的极限
定义3.2 (1) $f(x)$在 $(a,+\infty)((-\infty,a))$上有定义，若存在实数 $A$，对任意的 $\varepsilon>0$，存在正数 $M>0$，当 $x>M(<-M)$时，都有 $|f(x)-A|<\varepsilon$则称函数 $f(x)$在 $x\to +\infty(\to -\infty)$的过程极限存在，A是 $f(x)$在过程 $x\to +\infty(\to -\infty)$的极限，记为 $\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=A(\lim_{x\to -\infty}{f(x)}=A)$
(2)若是对任意的正数 $M>0$，存在正数 $M_2>0$，当 $x>M_2(x<-M_2)$时，都有 $|f(x)|\ge M$则称函数 $f(x)$是 $x\to +\infty(\to -\infty)$过程的正无穷大量，记为 $\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=+\infty(\lim_{x\to -\infty}{f(x)}=+\infty)$
(3)若是对任意的正数 $M>0$，存在正数 $M_2>0$，当 $x>M_2(x<-M_2)$时，都有 $|f(x)|\le -M$则称函数 $f(x)$是 $x\to +\infty(\to -\infty)$过程的负无穷大量，记为 $\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=-\infty(\lim_{x\to -\infty}{f(x)}=-\infty)$
(4)若是 $|f(x)|$是 $x\to +\infty(\to -\infty)$过程的正无穷大量，则称 $f(x)$是 $x\to +\infty(\to -\infty)$过程的无穷大量

这样，对函数而言，有三种趋近过程，若是考虑广义极限，还有三种极限（有限实数、正负无穷），三种过程有三种无穷小量，三种无穷大量，这是和数列极限的区别。下面咱们考虑收敛于有限实数的情形，咱们统一记成 $\lim{f(x)}$，统一给出性质，固然，这些性质的证实和数列情形是相似的，这里咱们就不给出具体的证实过程。
定理3.1
(1)函数极限是惟一的
(2)(局部有界性)函数 $f(x)$在某个过程的极限存在，那么在某个时刻以后函数是有界的
(3)(不等式性质)函数 $f(x)$和 $g(x)$在某个过程的极限存在，而且存在某个时刻，在该时刻以后，有 $f(x)\le{g(x)}$，则 $\lim{f(x)}\le\lim{g(x)}$
(4)(不等式性质2)函数 $f(x)$和 $g(x)$在某个过程的极限存在，而且 $\lim{f(x)}<\lim{g(x)}$，则存在某个时刻，在该时刻以后，有 $f(x)<{g(x)}$
(5)(局部保号性1)函数 $f(x)$在某个过程的极限存在，在某个时刻以后，有 $f(x)\le 0(\ge 0)$，则 $\lim{f(x)}\le 0(\lim{f(x)}\ge 0)$
(6)(局部保号性2)函数 $f(x)$在某个过程的极限存在， $\lim{f(x)}> 0(\lim{f(x)}< 0)$，则在某个时刻以后，有 $f(x)> 0(<0)$
(7)函数极限的四则运算性质都成立
(8)(夹逼准则)函数 $f(x)$和 $g(x)$在某个过程的极限都等于 $A$，而且在该过程的某个时刻以后，都有 $f(x)\le h(x) \le g(x)$，则 $h(x)$在该过程的极限存在，而且 $\lim{h(x)}=A$

所谓某个时刻，咱们能够列表加以说明

过程	"在某个时刻以后"的含义
$\lim_{x\to x_0}$	$\exist \delta>0$,当 $0<$| $x-x_0$| $<\delta$时
$\lim_{x\to +\infty}$	$\exist M>0$,当 $x>M$时
$\lim_{x\to -\infty}$	$\exist M>0$,当 $x<-M$时
$\lim_{x\to \infty}$	$\exist M>0$,当 $x>$| $x$|时

无穷小量和无穷大量也有相似的性质
定理3.2
(1) $f(x)$是某个过程的无穷小量， $g(x)$是该过程当中某个时刻以后的有界变量，则 $f(x)g(x)$是该过程的无穷小量
(2) $\lim{f(x)}=A$的充要条件是 $f(x)-A$是该过程的无穷小量
(3) $f(x)$是该过程的无穷小量的充分必要条件是 $\frac{1}{f(x)}$是该过程的无穷大量
(4) $f(x)$是某个过程的无穷大量(正无穷大量、负无穷大量)， $g(x)$是该过程当中某个时刻以后的有界变量，则 $f(x)\pm g(x)$是该过程的无穷大量(正无穷大量、负无穷大量)
(5) $f(x)$是某个过程的无穷大量，存在正数 $m>0$， $g(x)$在该过程的某个时刻以后知足 $|g(x)|>m$，则 $f(x)g(x)$是该过程的无穷大量
(6)两个正(负)无穷大量的和仍是正(负)无穷大量
(7)正(负)无穷大量和负(正)无穷大量的差是正(负)无穷大量

下面，咱们对函数极限的无穷大量和无穷小量的阶做一个统一的定义：
定义3.3
$f(x)$和 $g(x)$是某个过程的两个无穷小量
(1)若是 $\lim{\frac{f(x)}{g(x)}}=0$，则称 $f(x)$是 $g(x)$的高阶无穷小，记为 $f(x)=o(g(x))$
(2)若是 $\lim{\frac{f(x)}{g(x)}}=A\neq 0$，则称 $f(x)$和 $g(x)$是同阶无穷小
(3)若是 $\lim{\frac{f(x)}{g(x)}}=1$，则称 $f(x)$和 $g(x)$是等价无穷小

做为函数极限的例子，咱们来证实一个重要的极限：
例3.1 $\lim_{x\to 0}{\frac{\sin(x)}{x}}=1$

证：
实际上，由几何关系，在 $0<x<\frac{\pi}{2}$时，有 $\sin(x)<x<\tan(x)$在三角形 $\triangle ABC$中， $|BC|=\sin(x) < |AB|$,而两点之间线段最短，所以 $|AB|$又比弧长 $x$小，所以，有 $\sin(x)<x$，而扇形的面积小于 $\triangle OAD$的面积，就直接有 $x<\tan(x)$为了应用夹逼准则，咱们还要证实 $\lim_{x\to 0}{\cos(x)}=1$考察 $|\cos{x}-1|=|2\sin(\frac{x}{2})^2|\le{\frac{x^2}{2}}$
再由夹逼准则，有 $\lim_{x\to 0}{\cos(x)}=1$同时，有如下不等式 $\frac{1}{\cos{x}} < \frac{\sin{x}}{x} < 1$（注意到 $\frac{\sin{x}}{x}$是偶函数)
再应用夹逼准则能够证得结论

在这里，咱们再引入两个极限过程：
定义3.4
(1) $f(x)$在 $x_0$的某个右(左)半去心邻域有定义，若是存在实数 $A$，对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，对任意的 $x\in(x_0,x_0+\delta)(x\in(x_0-\delta,x_0))$，都有 $|f(x)-A|<\varepsilon$，则称 $f(x)$在 $x_0$处的左(右)极限存在，记为 $\lim_{x\to {x_0}^{+}}{f(x)}=A(\lim_{x\to {x_0}^{-}}{f(x)}=A)$ (2) $f(x)$在 $x_0$的某个右(左)半去心邻域有定义，若是对任意的正数 $M>0$，存在正数 $\delta>0$，对任意的 $x\in(x_0,x_0+\delta)(x\in(x_0-\delta,x_0))$，都有 $f(x)>M$，则称 $f(x)$是 $x\to {x_0}^{+}(x\to {x_0}^{-})$过程的正无穷大量，记为 $\lim_{x\to {x_0}^{+}}{f(x)}=+\infty(\lim_{x\to {x_0}^{-}}{f(x)}=+\infty)$(3) $f(x)$在 $x_0$的某个右(左)半去心邻域有定义，若是对任意的正数 $M>0$，存在正数 $\delta>0$，对任意的 $x\in(x_0,x_0+\delta)(x\in(x_0-\delta,x_0))$，都有 $f(x)<-M$，则称 $f(x)$是 $x\to {x_0}^{+}(x\to {x_0}^{-})$过程的正无穷大量，记为 $\lim_{x\to {x_0}^{+}}{f(x)}=-\infty(\lim_{x\to {x_0}^{-}}{f(x)}=-\infty)$

对左右极限，前面的定理都是成立的，形式也是相似的，这里就不一一列出
实际上，左右极限是逼近某个点的两个方向，那么，若是在某个点的极限存在，那么理所应当地，不管以何种方式逼近这个点，极限都应当是相同的，就有以下定理：
定理3.3 $f(x)$在 $x_0$处极限等于 $A$的充分必要条件是 $f(x)$在 $x_0$处的左右极限都等于 $A$

证实是容易的，这里省略

函数极限也有相应地单调收敛定理，证实和数列极限是相似的，咱们这里仅列出，证实过程省略
定理3.4
(1)若是存在 $\delta>0$, $f(x)$在 $(x_0,x_0+\delta)$上单调上升(单调降低)而且有下界(有上界)，则 $f(x)$在 $x_0$出的右极限存在
(2)若是存在 $\delta>0$, $f(x)$在 $(x_0-\delta,x_0)$上单调上升(单调降低)而且有上界(有下界)，则 $f(x)$在 $x_0$出的左极限存在
(3)若是 $f(x)$在实轴上单调上升有上界，则 $\lim_{x\to +\infty}{f(x)}$存在
(4)若是 $f(x)$在实轴上单调上升有下界，则 $\lim_{x\to -\infty}{f(x)}$存在

函数极限与数列极限的关系

前面谈到：函数在某个过程的极限存在，那么，不管以何种路径实现该过程 ，都应当只有惟一的极限，这一个路径在实轴上就体现为点列。
定理3.5 A为有限实数或正负无穷
(1) $f(x)$在 $x_0$处的右极限为 $A$的充分必要条件是:对任意的点列 $\{x_n\}$， $x_n > x_0$， $\lim_{n\to \infty}{x_n}=x_0$，都有 $\lim_{n\to\infty}{f(x_n)}=A$(2) $f(x)$在 $x_0$处的左极限为 $A$的充分必要条件是:对任意的点列 $\{x_n\}$， $x_n < x_0$， $\lim_{n\to \infty}{x_n}=x_0$，都有 $\lim_{n\to\infty}{f(x_n)}=A$(3) $f(x)$在 $x_0$处的极限为 $A$的充分必要条件是:对任意的点列 $\{x_n\}$， $x_n \neq x_0$， $\lim_{n\to \infty}{x_n}=x_0$，都有 $\lim_{n\to\infty}{f(x_n)}=A$(4) $\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=A$的充分必要条件是：对任意的点列 $\{x_n\}$， $\lim_{n\to \infty}{x_n}=+\infty$，都有 $\lim_{n\to\infty}{f(x_n)}=A$(5) $\lim_{x\to -\infty}{f(x)}=A$的充分必要条件是：对任意的点列 $\{x_n\}$， $\lim_{n\to \infty}{x_n}=-\infty$，都有 $\lim_{n\to\infty}{f(x_n)}=A$

证：
咱们仅以有限实数为例证实(1)，其余证实是至关相似的。
必要性，若是 $\lim_{x\to {x_0}^{+}}{f(x)}=A$，则任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $0<x-x_0<\delta$时，有 $|f(x)-A|<\varepsilon$对任意的点列 $\{x_n\}$， $x_n \neq x_0$， $\lim_{n\to \infty}{x_n}=x_0$，存在 $N$， $n\ge N$时，有 $|x_n-x_0|<\delta$，从而 $|f(x_n)-f(x_0)|<\varepsilon$充分性，若是对任意的点列 $\{x_n\}$， $x_n < x_0$， $\lim_{n\to \infty}{x_n}=x_0$，都有 $\lim_{n\to\infty}{f(x_n)}=A$反证法证实，若是 $\lim_{x\to {x_0}^{+}}{f(x)} \neq A$，那么存在正数 $\varepsilon_0>0$，对任意 $n\ge 1$，存在 $x_0<x_n<x_0+\frac{1}{n}$，而且： $|f(x_n)-A|\ge {\varepsilon_0}$而 $\lim_{n\to\infty}{x_n}=x_0$，矛盾

定理3.5提供了一种判断极限不存在的方法，也就是取一个数列，证实这个数列的极限不存在，就能够证实函数的极限不存在。

连续情形下的柯西收敛原理

连续情形下也有柯西收敛原理，只不过在连续情形下，极限过程有5种，相应的柯西收敛原理也有5种，咱们一一列举出来，并证实右极限情形，其余极限过程的柯西收敛原理原理是相似的。
定理3.6（连续情形下的柯西收敛定理）
(1) $\lim_{x\to{x_0}^{+}}{f(x)}$存在的充分必要条件是：对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，对任意的 $x_1,x_2\in (x_0,x_0+\delta)$，都有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$(2) $\lim_{x\to{x_0}^{-}}{f(x)}$存在的充分必要条件是：对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，对任意的 $x_1,x_2\in (x_0-\delta,x_0)$，都有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$(3) $\lim_{x\to{x_0}}{f(x)}$存在的充分必要条件是：对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，对任意的 $x_1,x_2 \in (x_0-\delta,x_0)\cup(x_0,x_0+\delta)$，都有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$(4) $\lim_{x\to{+\infty}}{f(x)}$存在的充分必要条件是：对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $M>0$，对任意的 $x_1,x_2\ge M$，都有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$(5) $\lim_{x\to{-\infty}}{f(x)}$存在的充分必要条件是：对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $M>0$，对任意的 $x_1,x_2\le -M$，都有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$

证：
仅证实(1)，其余证实相似
必要性是显然的，仅证实充分性：
任取一个点列 $\{x_n=x_0+\frac{1}{n}\}$，那么显然， $\{f(x_n)\}$是柯西列。
由数列极限的柯西收敛原理， $\{f(x_n)\}$收敛，令 $\lim_{n\to\infty}{f(x_n)}=A$
下面证实： $\lim_{x\to{x_0}^{+}}{f(x)}=A$
考察估计式： $|f(x)-A|\le |f(x)-f(x_n)| + |f(x_n)-A|$对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，对任意的 $x_1,x_2\in (x_0,x_0+\delta)$，都有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{2}$存在正整数 $n$，知足， $\frac{1}{n}<\delta$，同时， $|f(x_n)-A|<\frac{\varepsilon}{2}$
当 $0<x-x_0<\delta$时，都有 $|f(x)-A|\le |f(x)-f(x_n)| + |f(x_n)-A|<\varepsilon$

函数的连续性

连续性与间断点

定义3.5 $f(x)$在 $x_0$的某个邻域上有定义，若是 $\lim_{x\to x_0}{f(x)}=f(x_0)$，则称 $f(x)$在 $x_0$点处连续，若是 $f(x)$在区间 $I$上每一个点都连续，那么称 $f(x)$在 $I$上连续

按左右极限的关系，有
定义3.6
$f(x)$在 $x_0$的右(左)半邻域上有定义，若是 $\lim_{x\to {x_0}^{+}}{f(x)}=f(x_0)(\lim_{x\to {x_0}^{-}}{f(x)}=f(x_0))$，则称 $f(x)$在 $x_0$点处右(左)连续

有以下定理
定理3.7 $f(x)$在 $x_0$上连续的充要条件是 $f(x)$在 $x_0$上左连续且右连续

若是 $f(x)$在 $x_0$上不连续，称 $x_0$是 $f(x)$的间断点，那么间断的状况有哪几种呢？
按照定理3.7，连续须要左右极限都存在，而且都等于 $f(x_0)$
第一种状况：若是左右极限都存在，但至少有一个不等于 $f(x_0)$，此时， $f(x)$在 $x_0$处是跳跃的
第二种状况：若是左右极限其中之一不存在，可是是广义收敛的，那么此时咱们就称 $x_0$是无穷间断点
第三种状况：左右极限其中之一不存在，而且不是广义收敛的，那么 $f(x)$在 $x_0$的一侧像三角函数同样上下波动，可是波动幅度不会缩小

定义3.7
(1) $f(x)$在 $x_0$处左右极限存在，但不全等于 $f(x_0)$，则称 $x_0$是 $f(x)$的第一类间断点
(2) $f(x)$在 $x_0$处左右极限存在且相等，但不等于 $f(x_0)$，则称 $x_0$是 $f(x)$的可去间断点
(3) $f(x)$在 $x_0$处左右极限存在但不相等，则称 $x_0$是 $f(x)$的跳跃间断点
(4) $f(x)$在 $x_0$处左右极限至少有其一不存在，则称 $x_0$是 $f(x)$的第二类间断点
(5) $f(x)$在 $x_0$处有， $\lim_{x\to {x_0}^{+}}=\pm \infty$或 $\lim_{x\to {x_0}^{-}}=\pm \infty$，
则称 $f(x)$是无穷间断点

由极限的四则运算法则，连续函数也对四则运算封闭
定理3.8
(1) $f(x)$和 $g(x)$在 $x_0$上连续，则 $f(x)\pm g(x)$在 $x_0$上连续
(2) $f(x)$和 $g(x)$在 $x_0$上连续，则 $f(x)g(x)$在 $x_0$上连续
(3) $f(x)$和 $g(x)$在 $x_0$上连续, $g(x_0)\neq 0$，则 $\frac{f(x)}{g(x)}$在 $x_0$上连续

另外，连续函数还对复合函数和反函数运算封闭
定理3.9
$g(y)$在 $y=y_0$处连续， $y_0=f(x_0)$， $f(x)$在 $x=x_0$处连续，则 $g(f(x))$在 $x=x_0$处连续

证：
对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta_1>0$， $|y-y_0|<\delta_1$时,有 $|g(y)-g(y_0)|<\varepsilon$又存在 $\delta_2>0$， $|x-x_0|<\delta_2$时，有 $|f(x)-f(x_0)|<\delta_1$此时，有 $|g(f(x))-g(f(x_0))|<\varepsilon$

实际上，定理3.9还有更弱的形式：
定理3.10 $g(y)$在 $y=y_0$处连续， $\lim_{x\to {x_0}^{+}}{f(x)}=y_0 (\lim_{x\to {x_0}^{-}}{f(x)}=y_0)$，则 $\lim_{x\to {x_0}^{+}}{g(f(x))}=g(y_0) (\lim_{x\to {x_0}^{-}}{g(f(x))}=g(y_0))$

证实是相似的，这里咱们就不给出具体的证实
为了讨论连续函数的反函数性质，咱们首先要明确，反函数存在的条件，咱们在证实了闭区间上连续函数的性质以后，咱们将证实闭区间 $[a,b]$上连续函数反函数存在的条件是 $f(x)$在 $[a,b]$上严格单调，下面的证实用到一个事实： $[a,b]$上连续函数的值域都是闭区间，咱们先认可这个事实，在下一节进行证实。
定理3.11 $f(x)$是 $[a,b]$上严格单调上升(降低)的连续函数，则 $f^{-1}(y)$是 $[f(a),f(b)]$上严格单调上升(降低)的连续函数

证：
仅证实单调上升的情形
首先证实 $f^{-1}$是严格单调上升的，对任意的 ${f(a)}\le{y_1}<y_2\le{f(b)}$，令 $x_1=f^{-1}(y_1)$， $x_2=f^{-1}(y_2)$
按照反函数的定义， $y_1=f(x_1),y_2=f(x_2)$
若是 $x_1\ge{x_2}$，由 $f$的单调性，应有 $y_1=f(x_1)\ge f(x_2) = y_2$，与 $y_1<y_2$矛盾。
其次证实 $f^{-1}$的连续性，由单调性，对任意的 $y\in[f(a),f(b)]$， $f^{-1}$在 $y$处的左右极限都是存在的（若是在端点则只有左极限或右极限）
咱们证实右极限情形，左极限是相似的
对任意的 $\varepsilon>0$，不妨设 $f^{-1}(y)+\varepsilon<b$，就有 $y<f(f^{-1}(y)+\varepsilon)$对任意的 $y<y^{\prime}<f(f^{-1}(y)+\varepsilon)$，由严格单调性，有 $f^{-1}(y)<f^{-1}(y^{\prime})<f^{-1}(y)+\varepsilon$
这就证实了： $\lim_{y^{\prime}\to y }{f^{-1}(y^{\prime})}=f^{-1}(y)$

闭区间上连续函数的性质

下面咱们讨论闭区间上连续函数的性质
定理3.12（有界性定理和最值定理） $f(x)$是闭区间 $[a,b]$上的连续函数，则 $f(x)$在闭区间 $[a,b]$上有界，而且上下界能够取到

证：
(1)先证有界性：若是 $f(x)$在 $[a,b]$上无界，那么能够取得 $[a,b]$的一个数列 $\{x_n\}$， $\lim_{n\to \infty}{|f(x_n)|}=+\infty$，由魏尔斯特拉斯定理， $\{x_n\}$存在收敛子列 $\{x_{n_k}\}$， $\lim_{k\to\infty}{x_{n_k}}=x_0$，则 $\lim_{k\to \infty}{|x_{n_k}|}=+\infty$，而由连续性，应当有 $\lim_{k\to \infty}{|x_{n_k}|}=f(x_0)$，矛盾
(2)再证实上下确界能够取到：记 $M=\sup\{f(x):x\in[a,b]\}$，取 $[a,b]$的一个数列 $\{x_n\}$，知足： $M\ge{f(x_n)}>M-\frac{1}{n}$，再由魏尔斯特拉斯定理，取 $\{x_n\}$的收敛子列 $\{x_{n_k}\}$，有 $M\ge{f(x_{n_k})}>M-\frac{1}{n_k}$两边对 $k\to \infty$取极限，再由夹逼准则，有 $\lim_{k\to\infty}{f(x_{n_k})}=M$而设 $\lim_{k\to\infty}{x_{n_k}}=x_0$，又有 $\lim_{k\to\infty}{f(x_{n_k})}=f(x_0)=M$下确界情形的证实是相似的

定理3.13 $f(x)$是闭区间 $[a,b]$上的连续函数， $M,m$为 $f(x)$在闭区间 $[a,b]$的最大值和最小值，对任意的 $m\le{y}\le{M}$，存在 $x\in[a,b]$，使得 $y=f(x)$

证：
若是 $f(a)=y$，那么结论天然成立，在假设 $y<M$，不然结论显然成立
不失通常性，设 $f(a)<y$，而 $f(a)>y$的证实是相似的。
令 $S=\{t\in[a,b]:\forall x \in[a,t],f(x)<y\}$，首先 $S$是非空而且由上界的，同时， $b\notin S$
令 $t_0=\sup(S)$，这意味着，对任意的 $a<t<t_0$，都有 $f(t)<y$，那么，由函数极限的不等式性质，应当有 $f(t_0)\le {y}$。
可是，按照 $S$的构造，又不能有 $f(t_0)<y$，假设 $f(t_0)<y$
首先， $t_0<b$，不然对任意的 $x\in[a,b]$，都有 $f(x)\le y$，与 $M$是最大值矛盾
其次，由 $f(t_0)<y$，就能够取得 $t_0$的一个右半邻域，在这个右半邻域上都有 $f(x)<y$，这又与 $t_0=\sup(S)$矛盾
综上， $f(t_0)=y$

综合定理3.12及定理3.13，就能够获得以下推论
推论3.1 闭区间上连续函数的值域是闭区间

接下来，咱们给出一个更强的连续性，对于连续函数来讲，对任意的 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$， $|x-x_0|<\delta$时，有 $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$
但给定 $\varepsilon$， $\delta$是和 $x_0$有关的，能够认为 $\delta$是 $x_0$的函数
然而，不少时候，咱们须要这个 $\delta$和点的选取无关，而闭区间上的连续函能够作到这一点
定义3.8
$f(x)$是定义在区间 $I$上的函数，若是对任意的 $\varepsilon>0$,存在正数 $\delta>0$，对任意的 $x_1\in I,x_2\in I,|x_1-x_2|<\delta$，都有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$则称 $f(x)$在区间 $I$上一致连续

定理3.14 $f(x)$是闭区间 $[a,b]$上的连续函数，则 $f(x)$在闭区间 $[a,b]$上一致连续

证：
用反证法证实。
假设 $f(x)$在闭区间 $[a,b]$上不一致连续，则存在正数 $\varepsilon_0>0$，能够取到 $[a,b]$中的两个点列 $\{x_n\}$和 $\{y_n\}$，知足 $|x_n-y_n|<\frac{1}{n}$，但 $|f(x_n)-f(y_n)|\ge{\varepsilon_0}$取子列使得 $\{x_{n_k}\}$和 $\{y_{n_k}\}$都收敛，则 $\lim_{k\to\infty}{x_{n_k}}=\lim_{k\to\infty}{y_{n_k}}=x_0$有 $|f(x_{n_k})-f(y_{n_k})|\ge{\varepsilon_0}$两边对 $k\to\infty$取极限，由连续性，有 $|f(x_0)-f(x_0)|\ge{\varepsilon_0}$矛盾

初等函数的连续性

接下来，咱们来证实初等函数的连续性，只要证实了基本初等函数的连续性，那么再由连续函数的四则运算及复合函数法则，对基本初等函数进行有限次四则运算及复合函数运算，获得的都是连续函数，这样就证实了全体初等函数都是连续。咱们再平常遇到的大多都是初等函数，这就说明了连续函数就足以知足咱们许多需求。

三角函数的连续性

对任意的 $\Delta x$，对任意的 $x$，由两角和的公式，有 $\sin{(x+\Delta x)}-\sin{x}\\ =\sin{x}\cos{\Delta x}+\cos{x}\sin{\Delta x}-\sin{x}\\ =\sin{x}(\cos{\Delta x}-1)+\cos{x}\sin{\Delta x}\\ =2\sin{x}(\sin{\frac{\Delta x}{2}})^2+ \cos{x}\sin{\Delta x}$对上式进行放缩 $0\le|\sin{(x+\Delta x)}-\sin{x}|\\ \le 2|(\sin{\frac{\Delta x}{2}})^2|+|\sin{\Delta x}|\\ \le \frac{{\Delta x}^2}{2} + |{\Delta x}|$应用夹逼准则，就有 $\lim_{\Delta x\to 0}{|\sin{(x+\Delta x)}-\sin{x}|}=0$这就证实了 $\sin{x}$在整个数轴上都是连续的

对任意的 $\Delta x$，对任意的 $x$，由两角和的公式，有 $\cos{(x+\Delta x)}-\cos{x}\\ =\cos{x}\cos{\Delta x}-\sin{x}\sin{\Delta x}-\cos{x}\\ =\cos{x}(\cos{\Delta x}-\cos{x})-\sin{x}\sin{\Delta x}\\ =2\cos{x}(\sin{\frac{\Delta x}{2}})^2-\sin{x}\sin{\Delta x}$固然，由以上等式的形式，再沿用上面的证实方法，就能够知道， $\cos{x}$在整个数轴上都是连续的
全体三角函数均可以由 $\sin{x}$和 $\cos{x}$经过四则运算表出，所以，全体三角函数都是连续的，再由反函数的连续法则，反三角函数也是连续函数

指数函数与对数函数

对 $a>0$，咱们首先要给出 $a^b(b\in R)$的定义。由于咱们再初等数学中，只学过 $b$为有理数情形下的定义
咱们先来回顾指数是有理数情形该如何定义？首先，当 $b$是正整数时，就定义为 $b$个 $a$相乘。
当 $b=\frac{1}{n}$，就定义为实数 $c\ge 0$，知足： $c^n=a$，实际上，这样的实数能够经过二分法找到，首先，找一个彻底平方数 $N^2>a$，令 $I_0=[0,N^2]$
令 $I_0=[a_0,b_0]$，考察区间的中点 $c_0$，若是 $c_0^n=a$就找到知足条件的 $c$，不然，若是 $c_0^n<a$，令 $I_1=[c_0,b_0]=[a_1,b_1]$，若是 $c_0^n>a$，令 $I_1=[a_0,c_0]=[a_1,b_1]$
考察区间 $I_1$的中点 $c_1$，若是 $c_1^n=a$就找到知足条件的 $c$，不然，若是 $c_1^n<a$，令 $I_2=[c_1,b_1]=[a_2,b_2]$，若是 $c_1^n>a$，令 $I_2=[a_1,c_1]=[a_2,b_2]$
依此类推 $\cdots$
若是以上步骤能在有限步内结束，那么就找到了 $a^b$，不然，就获得一个闭区间套 $\{I_n\}$，由闭区间套定理，存在惟一的 $c\in \bigcap_{n=1}^{\infty}{I_n}$
只要验证其知足 $c^n=a$，实际上，函数 $f(x)=x^n$是连续函数
这是由于 $f(x+\Delta x)-f(x) \\=\sum_{k=0}^{n}{C_n^k x^{n-k}{\Delta x}^k}-x^n \\=\sum_{k=1}^{n}{C_n^k x^{n-k}{\Delta x}^k}$ $x^k$在 $0$处连续
事实上， $x^k$在 $(0,+\infty)$上的严格单调上升的，而且有下界0，有单调有界收敛原理， $x^k$在 $0$处的右极限存在，而 $0 < \frac{1}{n^k} <\frac{1}{n}$再由夹逼准则，有 $\lim_{n\to\infty}{(\frac{1}{n})^k}=0$由函数极限与数列极限的关系， $x^k$在 $0$点连续
所以， $x^n$在整个实轴上连续
按照构造，有 $b_k\to c$，而且， $b_k^n>a$，再由构造 $a_k \to c$，而且， $a_k^n<a$，由极限的不等式性质， $c^n\ge a$，同时 $c^n\le a$，因而， $c^n=a$
再由 $x^n$的严格单调性， $c$是一意的
对正有理数 $q=\frac{m}{n}$，而且 $m,n$互素， $a^q$就定义为 $a^q=(a^m)^{\frac{1}{n}}$
对负有理数 $q$， $a^q$定义为 $\frac{1}{a^{-q}}$
对互质的两个正整数 $m,n$，有 $a^{\frac{m}{n}}=(a^{\frac{1}{n}})^m$实际上，若是 $c=a^{\frac{1}{n}}$，那么： $(c^m)^n=(c^n)^m=a^m$这样， $c^m= (a^{\frac{1}{n}})^m = (a^m)^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}}$
从而， $a^{-\frac{m}{n}}=(a^{\frac{1}{n}})^{-m}$
咱们再验证：对任意的正整数 $k$， $a^{\frac{1}{kn}}=(a^{\frac{1}{n}})^{\frac{1}{k}}$
令 $c=a^{\frac{1}{kn}}$