【BZOJ4559】成绩比较（动态规划，拉格朗日插值）

#【BZOJ4559】成绩比较（动态规划，拉格朗日插值） ##题面 BZOJ 洛谷 ##题解 显然能够每门课顺次考虑， 设$f[i][j]$表示前$i$门课程$zsy$刚好碾压了$j$个$yyb$的方案数。 那么，思考转移，显然是原来碾压了$k$我的，可是在考虑到这一门课程的时候有些人没被碾压了， 因此转移就是$f[i][j]=f[i-1][k]C_k^jC_{n-k-1}^{n-rank[i]-j}P[i]$ 大体的含义就是，原先$zsy$碾压了$k$我的，可是如今$zsy$只碾压了$j$个蒟蒻$yyb$， 由于有$k-j$个神犇$ppl$在这门课程上的得分吊打了$zsy$。 先找出来哪些是$j$个蒟蒻$yyb$中的一员，而且被$zsy$被碾压了，方案数是$C_k^j$， 因为以前有$k$我的钦定被$zsy$吊打，因此还剩下$n-k-1$我的， 然而有$j$个蒟蒻$yyb$仍然钦定被$zsy$吊打，因此剩下的人里面要找些人把被$zsy$吊打的人数给填满，要否则$zsy$会不开森。 还差多少个被吊打的人呢？一共是$n-rank[i]$个被吊打名额，有$j$个蒟蒻$yyb$被钦定了，因此还剩下$n-rand[i]-j$个名额。 因此就获得了上面的转移。。。。吗？ 后面那个$P$是啥玩意？ 你如今不是已经钦定好了这些人的相对排名了吗，然而咱们并不知道分数是多少。 因此$P[i]$表示的是给全部人钦定$[1,U[i]]$之间的分数的方案数。 $U$这么大，明显不让人活了，因此伪装拉格朗日插值一下是对的。 $P$是个啥玩意呢？ $P=\sum_{i=1}^Ui^{n-rank}(U-i)^{rank-1}$ 什么意思？钦定一下$zsy$的分数是$i$，那么全部被$zsy$吊打的人的选择就只有$[1,i]$， 而总共有$n-rank$我的被吊打，而剩下的人分数比$zsy$高，因此被钦定为$[i+1,U]$，一共$(U-i)$种方法，总共$rank-1$我的，大力插值一波伪装是对的就行了。 然而我嫌插值太慢，去网上蒯（抄）了一种神仙作法

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAX 150
#define MOD 1000000007
inline int read()
{
	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return t?-x:x;
}
int fpow(int a,int b)
{
	int s=1;
	while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}
	return s;
}
void add(int &x,int y){x+=y;if(x>=MOD)x-=MOD;}
int n,m,K,u[MAX],rk[MAX],f[MAX][MAX],P[MAX],g[MAX];;
int jc[MAX],jv[MAX],inv[MAX];
int C(int n,int m){if(n<0||m<0||m>n)return 0;return 1ll*jc[n]*jv[m]%MOD*jv[n-m]%MOD;}
int main()
{
	n=read();m=read();K=read();
	for(int i=1;i<=m;++i)u[i]=read();
	for(int i=1;i<=m;++i)rk[i]=read();
	jc[0]=jv[0]=inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%MOD;
	for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
	for(int i=1;i<=n;++i)jv[i]=1ll*jv[i-1]*inv[i]%MOD;
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		g[0]=u[i];
		for(int j=1;j<=n;++j)
		{
			g[j]=(fpow(u[i]+1,j+1)-1+MOD)%MOD;
			for(int k=0;k<j;++k)add(g[j],MOD-(1ll*C(j+1,k)*g[k]%MOD));
			g[j]=1ll*g[j]*fpow(j+1,MOD-2)%MOD;
		}
		int inv=fpow(u[i],MOD-2),v=fpow(u[i],rk[i]-1),d=1;
		for(int j=0;j<rk[i];++j,d=MOD-d,v=1ll*v*inv%MOD)
			add(P[i],1ll*C(rk[i]-1,j)*d%MOD*v%MOD*g[n-rk[i]+j]%MOD);
	}
	f[0][n-1]=1;
	for(int i=1;i<=m;++i)
		for(int j=K;j<=n;++j)
			for(int k=j;k<=n;++k)
				add(f[i][j],1ll*f[i-1][k]*C(k,j)%MOD*C(n-k-1,n-rk[i]-j)%MOD*P[i]%MOD);
	printf("%d\n",f[m][K]);
	return 0;
}