经常使用的位运算技巧

经常使用的位运算技巧

位运算是不少算法优化的基础和实现的条件，极其重要。理解位运算对于一些算法及其优化有着很是重要的意义。本篇随笔讲解位运算的一些基本原理和经常使用的使用技巧。

注：本篇随笔的全部“运算”均指二进制下的运算，请你们自行理解。

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一、与(&)运算

(1)运算法则

两个二进制数进行与&运算，若是对应位都为1则结果为1，不然为0.

(2)技巧及用途

与运算经常用于二进制下的取位操做。想要知道二进制下的某位是不是1，就&上这个位数对应的十进制数。假如返回的是这个十进制数自己，则这个位的确是1，反之就是0.

好比：

咱们要取第三位是否为1，咱们只须要与&上第三位（二进制表示为100）对应的二进制数4，若是返回值为4，就表明第三位为1，反之就是0.

最经常使用的是取二进制下的最末位，即a&1。这样的技巧能够用于判断奇偶，根据二进制常识，尾数为1则为奇数，反之为偶数。

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二、或(|)运算

(1)运算法则

两个二进制数进行或|运算，若是对应位有一个为1，结果就为1.只有在两个数的对应位置都是0的时候，结果才为0.

(2)技巧及用途

或运算经常使用于二进制特定位的赋值。想把哪一个位强行变成1，就用这个数|上这个位数对应的二进制数。

仍是上面那个例子，咱们想让00000的第三位变成1.即十进制变4，咱们直接|上4就能够。

固然，不一样于&运算，咱们不多用|运算进行任意位赋值。一般来说，咱们只使用a|1把a的最后一位强行变成1，其实质意义是把原数加一。或者使用a|1-1再把它变为0.这个技巧一般用于把它变成它最接近的偶数。

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三、异或(^)(xor)运算

(1)运算法则

两个二进制数进行异或(^)运算，若是对应位相同，不论是0或者是1，都返回1，反之返回0.

(2)技巧及用途

其实没啥用途...

好吧，我介绍一个性质：一个数通过两次异或以后等于原数。

（很好理解）

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四、非(~)运算

(1)运算法则

把给定二进制数所有取反。

(2)技巧及用途

其实没什么运算上的用途，本蒟蒻曾看见一些大佬用这个运算判断输入是否为0...

大约长这个样子：

while(~scanf("%d",&n))

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五、左移(<<)运算

(1)运算法则

a<<b表示把a的二进制位向左移动b位，低位用0补上。

(2)技巧及用途

根据二进制的常识，咱们会发现，二进制第k位上的数就等于\(2^k\)。（从0开始计位）

好比，二进制下的100就是\(2^{k=2}=4\)。

因此咱们发现，左移运算a<<b的实质就是\(a×2^b\)。

左移运算最经常使用的技巧就是用来代替×2的整数次幂的乘法运算。由于咱们广泛认为，位运算是要比四则运算加减乘除及模运算更快一些的运算。

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六、右移(>>)运算

(1)运算法则

a>>b就是把a的二进制位向右移动b位，溢出的舍去。

(2)技巧及用途

类比于左移运算，咱们发现右移运算就是把a除以2的整数次幂。这就是右移运算的用途——优化除法运算。

这里须要特殊说明的是，右移算法能够用在数学知识中的求最大公约数的程序块上。由于mod运算的效率慢的出奇，因此咱们能够用右移运算来进行除以2的操做。听说能够提升百分之60的效率。

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七、位运算优先级

位运算的优先级是咱们在处理位运算的时候经常要考虑的问题，诚然，咱们能够用括号强制位运算的顺序，可是，咱们仍是应该学会位运算的优先级（这应该是常识）。

位运算的优先级以下：

按位反（~）>位移运算（<<,>>）>按位与（&）>按位异或（^）>按位或（|）

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附：位运算在状压DP的用法

众所周知，状压DP就是把状态压缩成一个01串（其实就是一个二进制数），用以减小DP数组的维数。可是咱们在DP的时候就要按照01串来进行状态的转移。因此位运算是状压DP的基础知识和必备知识。因此我在本篇随笔的末尾还附上了状压DP中比较经常使用的操做及其二进制实现的方式。

正文：（本文中的a表示十进制下的整数）

一、得到第i位的数字：(a>>i)&1 或者 a&(1<<i)

很好理解，咱们知道能够用&1来提取最后一位的数，那么咱们如今要提取第i位数，就直接把第i位数变成最后一位便可（直接右移）。或者，咱们能够直接&上1左移i位，也能达到咱们的目的。

二、设置第i位为1：a=a|(1<<i)

咱们知道强制赋值用|运算，因此就直接强制|上第i位便可。

三、设置第i位为0：a=a&(~(1<<i))

这里比较难以理解。其实很简单，咱们知道非~运算是按位取反，(1<<i)非一下就变成了第i为是0，其它全是1的二进制串。这样再一与原数进行&运算，原数的第i位不管是什么都会变成0，而其余位不会改变（实在不明白的能够用纸笔进行推演）。

四、把第i位取反：a=a^(1<<i)

1左移i位以后再进行异或，咱们就会发现，若是原数第i位是0，一异或就变成1，不然变成0。

五、取出一个数的最后一个1：a&(-a)

学过树状数组的同窗会发现，这就是树状数组的lowbit。事实上，这和树状数组的原理是同样的。我想，不须要我多解释。