分治策略(求解递归式的方法)

分解：将原问题划分红形式相同的子问题，规模能够不等，对半或2/3对1/3的划分。

解决：对于子问题的解决，很明显，采用的是递归求解的方式，若是子问题足够小了，就中止递归，直接求解。

合并：将子问题的解合并成原问题的解。

　　这里引出了一个如何求解子问题的问题，显然是采用递归调用栈的方式。所以，递归式与分治法是紧密相连的，使用递归式能够很天然地刻画分治法的运行时间。因此，若是你要问我分治与递归的关系，我会这样回答：分治依托于递归，分治是一种思想，而递归是一种手段，递归式能够刻画分治算法的时间复杂度。

 

解递归式:

这里有三种方法：代入法、递归树法和主方法。（下面这一部分结合有些网友的总结和个人总结得来）

代入法：

定义：先猜想某个界的存在，再用数学概括法去证实该猜想的正确性。 
缺点：只能用于解的形式很容易猜的情形。 
总结：这种方法须要经验的积累，能够经过转换为先前见过的相似递归式来求解。

递归树法：

原由：代换法有时很可贵到一个正确的好的猜想值。 
用途：画出一个递归树是一种获得好猜想的直接方法。 
分析(重点)：在递归树中，每个结点都表明递归函数调用集合中一个子问题的代价。将递归树中每一层内的代价相加获得一个每层代价的集合，再将每层的代价相加获得递归式全部层次的总代价。 
总结：递归树最适合用来产生好的猜想，而后用代换法加以验证。 
递归树的方法很是直观，总的代价就是把全部层次的代价相加起来获得。可是分析这个总代价的规模却不是件很容易的事情，有时须要用到不少数学的知识。

主方法：

主方法是最好用的方法，书本上以”菜谱“来描述这种方法的好用之处，它能够瞬间估计一个递推式的算法复杂度。可是咱们知道，这后面确定是严格的数学证实在支撑着，对于咱们用户来讲，咱们只用知道怎么用就好了。

优势：针对形如T(n) = af(n/b) + f(n)的递归式

缺点：并不能解全部上述形式的递归式，有一些特殊状况，见下文分析。

分析：三种状况，以下图，着重看圈线的部分:

直觉：看 f(n) 和 n^log_ba 的关系，谁大取谁，相等则两个相乘，但要注意看是否相差因子 n^ε。对于3），还要看是否知足条件 af(n/b) <= cf(n) .

就像上面所说的，该方法不能用于全部的形如上式的递归式，f(n)和n^log_ba的关系必须是多项式意义上的小于大于，即渐近关系（渐近小于、渐近大于），什么是渐近，就是二者相差一个因子n^ε。因此，在状况1和状况2之间有必定的间隙，一样状况2和请看3之间也有必定的间隙；对于状况3，还要看是否知足正则条件。

　　

例子：

代入法：（凭直觉、经验）

1）、习题4.3-1：T(n) = T(n-1) + n

2）、习题4.3-2：T(n) = T(n/2) + 1

递归树法：

1）、对递归式T(n) = 3T(n/2) +ｎ，利用递归树肯定一个好的渐近上界，用代入法进行验证。

2）、对递归式T(n) = T(n/2) + n²，利用递归树肯定一个好的渐近上界，用代入法进行验证。

主方法：

1）、对于下列递归式，使用主方法求出渐近紧确界。

　　a、T(n) = 2T(n/4) + 1

　　b、T(n) = 2T(n/4) + n^1/2

　　c、T(n) = 2T(n/4) + n

　　d、T(n) = 2T(n/4) + n²