雅克比迭代算法(Jacobi Iterative Methods) -- [ mpi , c++]

雅克比迭代，通常用来对线性方程组，进行求解。形如：
\(a_{11}*x_{1} + a_{12}*x_{2} + a_{13}*x_{3} = b_{1}\)　　
\(a_{21}*x_{1} + a_{22}*x_{2} + a_{23}*x_{3} = b_{2}\)　　
\(a_{31}*x_{1} + a_{32}*x_{2} + a_{33}*x_{3} = b_{3}\)　　
咱们须要求解出\(x_{1}\)　，\(x_{２}\)　，\(x_{３}\)，咱们对这组方程进行变换：
\(x_{1}=\frac{１}{a_{１1}}(b_{１} -a_{１2}*x_{２} -a_{１3}*x_{3})\)
　 \(x_{２}=\frac{１}{a_{21}}(b_{2} -a_{2１}*x_{１} -a_{23}*x_{3})\)
\(x_{３}=\frac{１}{a_{３1}}(b_{３} -a_{３１}*x_{１}-a_{３２}*x_{２})\)

咱们不妨假设 \(x_{0}^{0}=(X_{1}^{0},X_{2}^{0},X_{3}^{0})\) ,当咱们代入上述公式的时候，咱们就会获得一组新的 \(x_{0}^{1}=(X_{1}^{1},X_{2}^{1},X_{3}^{1})\) ,此刻咱们称之为一次迭代.
而后咱们将获得的X1,X2,X3再次代入公式，咱们将会获得第二次迭代, 当咱们重复这种迭代的时候，咱们会获得第K次迭代：
\(x^{k}=(X_{1}^{k},X_{2}^{k},X_{3}^{k})\) , \(k = 1,2,3...n\)
咱们将其概括成通常式子:

eg: 对于方程组：

求解：
咱们先将其变形：

而后，咱们假设：
并将其代入获得：

咱们将获得的X1,x2,x3再次代入方程中，反复迭代,将会获得以下：

最终咱们将会获得一个收敛值，该组值，就是咱们获得的解（会很是的逼近真实解）

那么这种方法，也能够用来求解矩阵:
对于方程： Ax =b ; 咱们设定 A矩阵为： ,b矩阵为： ， x矩阵为：
到这里，每一个人都有本身的解法，直接的解法是将 x = \(A^{-1}\)b,可是A的逆矩阵\(A^{-1}\),计算较为复杂，咱们这里须要一点小的tricks ,咱们将A矩阵拆分红为一个对角矩阵D,下三角矩阵L,上三角矩阵U,即

这样的话，公式 Ax = b 就变成了 ( D - L -U )x = b ,而后咱们就能够获得：
Dx = b + (L+U)x ，当咱们获得这个公式的时候，求解D的逆矩阵就容易了不少，咱们获得D的逆矩阵为：

而后，咱们将D移到右边变成:

这个公式，和咱们上面描述的雅克比迭代是否是长得很像，而后咱们能够将其通常化为：

咱们知道A是一个已知的常量矩阵，于是D,L,U都是已知矩阵，那么咱们能够简化为：
\(T = D^{-1}*( L +U)\) , \(c = D^{-1}*b\) ;

根据这一个思想，咱们能够获得一个伪代码：

实现代码为:

参考资料为:
https://www3.nd.edu/~zxu2/acms40390F12/Lec-7.3.pdf