动态规划（1）使用斐波那契数列引入了动态规划的概念

9-1 使用斐波那契数列引入了动态规划的概念

1、计算斐波那契数列的第 \(n\) 项数值

一、斐波那契数列的定义

斐波那契数列是经过"递归"定义的，经过这个递归关系式，咱们能够知道斐波那契数列中任意一个位置的数值。

\[ \begin{equation}\begin{split} F(0) & = 0,\\ F(1) & = 1,\\ F(n) & = F(n-1) + F(n-2),\\ \end{split}\end{equation} \]

二、第 1 版 Python 代码实现：使用斐波那契数列的定义式子递归实现

很容易地，咱们能写出下面的代码：

def fib(n):
    if n == 0:
        return 0
    if n == 1:
        return 1
    return fib(n - 1) + fib(n - 2)

说明：

1. 代码自己用于计算是没有问题的，可是仔细研究，咱们就会发现，咱们虽然使用递归实现了斐波那契数列在任意位置的值的计算，可是，若是要咱们本身计算的话，确定不会这样计算，由于太耗时了。

2. 耗时的缘由在于，在上述的递归实现中，存在大量的重复计算，例如：
   要计算 fib(4)，就得计算 fib(3) 和 fib(2)，
   要计算 fib(3)，就得计算 fib(2) 和 fib(1)，
   此时 fib(2) 就被重复计算了，下面是一张图，展现了部分重复计算的过程。

1. 要解决上一步的问题，就要避免重复计算，咱们能够引入一个 memo 数组，用于存入已经计算过一次的 fib 的值，下一次须要这个值的时候，再从中取，下面是代码实现。

三、第 2 版 Python 代码实现：加入了记忆化搜索，即便用了缓存数组，以免重复计算

memo = None


def _fib(n):
    if memo[n] != -1:
        return memo[n]
    if n == 0:
        return 0
    if n == 1:
        return 1
    memo[n] = _fib(n - 1) + _fib(n - 2)
    return memo[n]


def fib(n):
    global memo
    memo = [-1] * (n + 1)
    return _fib(n)

四、第 3 版 Python 代码实现：虽然很简单，可是咱们就能够称之为“动态规划”的解法

这个版本是最接近咱们本身去计算斐波那契数列的第 \(n\) 项。想想的确是这样，聪明的你必定不会递归去计算波那契数列的，由于咱们的脑容量是有限，不太适合作太深的递归思考，虽然计算机在行递归，可是咱们也没有必要让计算机作重复的递归工做。

def fib(n):
    memo = [-1] * (n + 1)
    memo[0] = 0
    memo[1] = 1

    for i in range(2, n + 1):
        memo[i] = memo[i - 1] + memo[i - 2]
    return memo[n]

2、什么是“记忆化搜索”

针对一个递归问题，若是它呈树形结构，而且出现了不少”重叠子问题”，会致使计算效率低下，“记忆化搜索”就是针对”重叠子问题”的一个解决方案，实际上就是”加缓存避免重复计算”。

3、什么是“动态规划”

（1）比较“记忆化搜索”与“动态规划”

由上面的介绍咱们就能够引出动态规划的概念：

• "记忆化搜索"或者咱们称"重叠子问题"的加缓存优化的实现，咱们的思考路径是"自顶向下"。即为了解决数据规模大的问题，咱们“假设”已经解决了数据规模较小的子问题。
• “动态规划”就是上述"循环版本"的实现，咱们思考问题路径是"自下而上"。实际上，咱们是先“真正地”解决了数据规模较小的问题，而后一步一步地解决了数据规模较大的问题。

（2）“动态规划”的官方定义

下面咱们给出“动态规划”的官方定义：

dynamic programming (also known as dynamic optimization) is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems, solving each of those subproblems just once, and storing their solutions – ideally, using a memory-based data structure.

将原问题拆解成若干子问题，同时保存子问题的答案，使得每一个子问题只求解一次，最终得到原问题的答案。

（3）针对“动态规划”问题的通常思考路径

咱们一般的作法是：使用记忆化搜索的思路思考原问题，可是使用动态规划的方法来实现。即“从上到下”思考，可是“从下到上”实现。

4、总结

对于一个递归结构的问题，若是咱们在分析它的过程当中，发现了它有不少“重叠子问题”，虽然并不影响结果的正确性，可是咱们认为大量的重复计算是不环保，不简洁，不优雅，不高效的，所以，咱们必须将“重叠子问题”进行优化，优化的方法就是“加入缓存”，“加入缓存”的一个学术上的叫法就是“记忆化搜索”。

另外，咱们还发现，直接分析递归结构，是假设更小的子问题已经解决给出的实现，思考的路径是“自顶向下”。但有的时候，“自底向上”的思考路径每每更直接，这就是“动态规划”，咱们是真正地解决了更小规模的问题，在处理更大规模的问题的时候，直接使用了更小规模问题的结果。