关于天然对数e的一些思考

关于天然对数e一直不太明白，为何她是天然对数？哪里天然了？整理了相关资料，记录下来，省得之后忘了~（逃）

提到e，比较有名的就是公式：

还有就是从复利中推出e：经过“利滚利”的高利贷，并不断缩短计息周期而发现

假设你在银行存了1元钱，很不幸同时又发生了严重的通货膨胀，银行存款利率达到了逆天的100%！
银行通常1年才付一次利息，根据下公式x=1，满1年后银行付给你1元利息（绿圆），存款余额=2元

若是银行半年付一次利息，而后把利息当成本金，下半年和本金一块儿生息

继续，银行1/3年付一次利息

那每分每秒呢？

也就死n无穷大时
这个值是天然增加的极限，所以以e为底的对数，就叫作天然对数

这些都是e的经典解释，可是事实上，利滚利的极限应该是在人们发现了e以后才认识到的，而不是相反。
因此咱们仍是从数学历史上来看看e究竟是如何发现的！！
e也叫天然对数的底数，因此从对数提及。咱们今天知道，对数是指数的逆运算，但是，人们最先认识并朴素的定义出对数的时候，还彻底没有意识到这是指数的逆运算。人们是为了简化计算（特别是天文计算）而发现对数的！也就是对数先于指数被发现。（并非指古时没有连乘运算，而是没有指数的思想及表达形式）
咱们常常说的天文数字，意思是巨大的数字，因此当时天文学家计算是一件很是痛苦、麻烦的事情！那有没有能简化计算的方式呢？还真有：

人们在认识到三角函数之后，就利用三角函数表和三角函数之间的关系，发明了一种将乘除计算转化为加减计算的方法，被称之为“加减术”。还以上面两个数字相乘为例：
已知

查三角函数表得， ，

因而获得

再查三角函数表得， ，

因而，人们将乘除法的计算经过查找三角函数表转化为了加减法的计算，获得

原理就是提早制做出足够精确的三角函数表，换乘除为加减。换个方式说就是把乘除的计算量提早转化为三角函数的计算量。这种“加减术”优势就是简化乘除运算，在当时算是很先进了。可是缺点是屡次换算不够精确，致使偏差太大，并且也不够简便。
一样的思路，不一样的方法：

1484年法国巴黎大学医学学士写了<关于数的科学>一书，书中他将等差数列和等比数列进行比较，发现一个有趣的性质：
0,1,2,3 , 4 , 5 , 6 ,…等差数列
↑ ↑ ↑
1,2,4,8,16,32,64,… 2为底的等比数列

等比数列中两项的商在等差数列中的对应项，是两项在等差数列中对应项的差。好比 2+4=6能够化成4x16=64。这个就是原始加减术简单多了。听说早期阿基米德也有发现这个原理。原理简单，关键看实践。若是咱们简化5x15呢？这个简单数列就没办法转换了！！！等比数列中两数的间格太大！
为了能使这个数列能实际运用，可从两个方向改造：等比数列底不变，使用小数的指数，好比，2^0,2^0.1,2^0.2,...,惋惜当时人们还没认识指数，更别提小数的指数；第二种就是当时所选用的方法：选择一个跟1很是接近的底数r=1-10^-7=0.9999999 。

约翰.纳皮尔（John Napier）的伟大贡献——发明对数
纳皮尔构造了两个粒子的运动，粒子b在一条无穷长的射线上作匀速运动；粒子 beta 在一条固定长度线段上作变速运动，其运动速度在数值上与 beta 粒子到线段终点的距离相同。两个粒子的初始运动速度相同。（参见下图）

用如今方程表示的话：

由于当时计算小数比较麻烦，因此纳皮尔实际的方程为：

对这个方程进行变换获得：

令， 获得：

能够看出纳皮尔方程实际是以 为底的指数方程， 很是接近1/e。
用如今的眼光来看，其实不用乘以，若是不对小数刻意回避，方程应该更简洁。不过也正是对小数的回避，纳皮尔才会在不经意间发现天然对数。（稍后发表的比尔吉(Burgi)对数实际是以为底，更接近e。）

以上就是e最先的来源了。下面咱们看看纳皮尔对数表的用法！

第一列是等比数列变化，第二列是现代指数运算，第三列是纳皮尔数。这个表纳皮尔用了几十年才算出来能够实际运用（没有第二列）

假如须要计算 9999997*9999985 能够找出9999997 对应 3 ，9999985 对应 15，乘法化加法 9999997 * 9999980 对应 3+15=18，18 对应 9999982 ，也就是 9999997*9999985=9999982，咦，这个确定不对呀，一眼就看出来了！！
哈哈，这就是纳皮尔对数表的局限性了，从方程能够得出第三列 y1*y2=(x1+x2)*10^7,这样才是正确结果，因此9999997*9999980=（3+15）*10^7。第二列的话就不用再乘系数了，这仍是纳皮尔为了不小数计算所带来的小麻烦！！

以上！